设\(p_i\)为n的质因数，m为\(p_i\)的个数
\(\mu(1)=1\)
\(\mu(n)=\prod_{i=1}^{m}\mu(p_i^{a_i})=\begin{cases} (-1)^m 当a_1==a_2···==a_n==1 \\0 其他情况\end{cases}\)
当\(F(n)和f(n)\)都为数论函数情况下，且满足\(F(n)=\sum_{d|n}f(d)\)
则有\(f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)*F(\frac{n}{d})\)
也可写成\(f(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})*F(d)\)
这不废话？
\(f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)*F(\frac{n}{d})\)
\(F(n)=\sum_{d|n}f(d)\)
\(f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)*\sum_{k|\frac{n}{d}}f(k)\)
\(f(n)=\sum_{k|n}f(k)*\sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)\)
其中，莫比乌斯函数满足性质：
\(\sum_{d|n}\mu(d)=\begin{cases} 1 当n==1\\0当n\neq1\end{cases}\)
因此，只有当\(\frac{n}{k}==1即n==k\)
\(\sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)=1\)
所以
\(f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)*F(\frac{n}{d})\)
原文：https://www.cnblogs.com/loney-s/p/12036255.html