线性代数学习笔记

0 前言与一些注意事项

听说明天要讲拟阵,然后就搞一下线性代数.

在这里先解释一下左乘和右乘是啥,\(A\)左乘\(B\)就是\(AB\),\(A\)右乘\(B\)就是\(BA\)

1 矩阵

1.0 矩阵的基本概念

首先需要了解基本的东西,矩阵.

定义一个矩阵\(A\)有\(m\)行\(n\)列,那么可以写成:
\[ \begin{matrix} A_{1,1}\ A_{1,2}\cdots A_{1,n}\A_{2,1}\ A_{2,2}\cdots A_{2,n}\\ \ \ \ \ \ \ \vdots \A_{m,1}\ A_{m,2}\cdots A_{m,n}\\end{matrix} \]
我们还可以定义矩阵的数乘为\(\lambda A\),相当于是给矩阵中所有的元素都乘上一个数字.

然后矩阵有如下性质:

1. 结合率: \(ABC=A(BC)\)
2. 数乘结合律: \(\beta(\lambda A)=\beta\lambda A\)
3. ...(自行百度)

有一些特殊的矩阵,我们称之为\(I\),\(0\).

• \(I\),单位矩阵,就是对角线全是\(1\),其他位置都是\(0\)的矩阵.
• \(0\),零矩阵,就是所以位置都是\(0\)的矩阵.

1.1 矩阵的运算

加法就是对应位置加,减法就是对应位置减,乘法就是对应位置乘

矩阵的乘法,有如下定义:\(A\)矩阵为\((m,n)\),\(B\)矩阵为\((n,p)\).\(C=A*B\)

1. \(C(i,j)\)为\(A\)的第\(i\)个行向量内积\(B\)的第\(j\)个列向量.
2. C的第i行向量又等于A的第i行向量*\(B\)。
3. 所以C的第i列向量又等于\(A\)*(\(B\)的第\(i\)列向量)。
4. 最难理解的一条:C = ΣAi*Bi(Ai为A的第i列形成的矩阵,Bi为B的第i行
   形成的矩阵,式中?为矩阵乘法)

第2,3条直接把矩阵乘法的定义式拆开就是了.

第4条的话,直接把矩阵乘法拆开然后交换一下\(\sum\)就行了.

反正都是暴力拆就对了

1.2 特殊的矩阵变化与矩阵

1.2.1 特殊矩阵

特殊矩阵有倍加矩阵,倍乘矩阵和对换矩阵.

倍加矩阵:

\[ \begin{bmatrix} 1\ 0\ 0\cdots 0\0\ 1\ 0\cdots 0\0\ c\ 1\cdots 0\\vdots\0\ 0\ 0\cdots 1\\end{bmatrix} \]
然后这个矩阵中第\((i,j)\)个数字为\(c\),主对角线上为\(1\),其他位置都是\(0\).

倍乘矩阵:

\[ \begin{bmatrix} 1\ 0\ 0\cdots 0\0\ c\ 0\cdots 0\0\ 0\ 1\cdots 0\\vdots\0\ 0\ 0\cdots 1\\end{bmatrix} \]
然后这个矩阵中主对角线上,除一个位置为\(c\),其他位置为\(1\),不在主对角线上的数字都是\(0\).

对换矩阵:

\[ \begin{bmatrix} 1\ 0\ 0\cdots 0\0\ 0\ 1\cdots 0\0\ 1\ 0\cdots 0\\vdots\0\ 0\ 0\cdots 1\\end{bmatrix} \]
这个矩阵相当于是交换\(I\)矩阵的两行.

1.2.2 特殊的矩阵变换

考虑上述的特殊矩阵有啥用,特殊矩阵左乘一个矩阵就是做初等行变换,右乘一个矩阵就是做初等列变换.

\(a_i+a_j*c\)就是倍加矩阵\(E(i,j)\)写一个\(c\).

倍乘矩阵\(C(i,i)\)为\(c\)表示把第\(i\)行乘\(c\).

对换矩阵就是交换.

1.3 逆矩阵

RE: 线性代数学习笔记 線形代数は基本的な問題である

原文：https://www.cnblogs.com/fexuile/p/12193165.html