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积化和差与和差化积

时间:2020-01-23 12:51:49      阅读:128      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

一、求证:\(\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\)

证明:因为\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\]\[\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\]将以上两式的左右两边分别相加,得\[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta\]\[\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\]同理得到\[\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]\]\[\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\]\[\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]\]由于公式的左边为积的形式,右边为和或差的形式,故把上述四个公式称为 积化和差 公式.

\(\quad\)

二、求证:\(\sin\theta+\sin\varphi=2\sin\dfrac{\theta+\varphi}{2}\cos\dfrac{\theta-\varphi}{2}\)

证明:由上一题的证明有\[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta\]\(\alpha+\beta=\theta,\alpha-\beta=\varphi\) .那么\[\alpha=\dfrac{\theta+\varphi}{2},\beta=\dfrac{\theta-\varphi}{2}\]\(\alpha,\beta\) 的值代入上式,即得\[\sin\theta+\sin\varphi=2\sin\dfrac{\theta+\varphi}{2}\cos\dfrac{\theta-\varphi}{2}\]同理得\[\sin\theta-\sin\varphi=2\cos\dfrac{\theta+\varphi}{2}\sin\dfrac{\theta-\varphi}{2}\]\[\cos\theta+\cos\varphi=2\cos\dfrac{\theta+\varphi}{2}\cos\dfrac{\theta-\varphi}{2}\]\[\cos\theta-\cos\varphi=-2\sin\dfrac{\theta+\varphi}{2}\sin\dfrac{\theta-\varphi}{2}\]我们把上述四个公式称为和差化积公式.

积化和差与和差化积

原文:https://www.cnblogs.com/lbyifeng/p/12230477.html

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