Verify H1 and H2

考虑带零流第二边界条件的如下系统

\[
\begin{cases}
u_{t}=\Delta[(d_{1}+a_{11}u+a_{12}v)u]+u(a_{1}-b_{1}u-c_{1}v), & \,t>0,\\
v_{t}=\Delta[(d_{2}+a_{21}u+a_{22}v)v]+v(a_{2}-b_{2}u-c_{2}v), & \,t>0.
\end{cases}
\]
它可以写成散度形式
\[
\begin{cases}
u_{t}=\nabla\cdot[(d_{1}+2a_{11}u+a_{12}v)\nabla u+a_{12}u\nabla v]+u(a_{1}-b_{1}u-c_{1}v), & \,t>0,\\
v_{t}=\nabla\cdot[(d_{2}+a_{21}u+2a_{22}v)\nabla v+a_{21}v\nabla u]+v(a_{2}-b_{2}u-c_{2}v), & \,t>0,
\end{cases}
\]
在这篇文章中作者假设$\,a_{11}\geqslant0,\,a_{12}\geqslant0,\,a_{21}=0,\,a_{22}>0.$
所以上面的系统变成
\[
\begin{cases}
u_{t}=\nabla\cdot[(d_{1}+2a_{11}u+a_{12}v)\nabla u+a_{12}u\nabla v]+u(a_{1}-b_{1}u-c_{1}v), & \,t>0,\\
v_{t}=\nabla\cdot[(d_{2}+2a_{22}v)\nabla v]+v(a_{2}-b_{2}u-c_{2}v), & \,t>0,
\end{cases}
\]
即
\[
\begin{cases}
u_{t}=A_{u}(u,v)+g(u,v), & \,t>0,\\
v_{t}=A_{v}(v)+f(u,v), & \,t>0,
\end{cases}
\]
这里
\begin{eqnarray*}
A_{u}(u,v) & = & \nabla\cdot(P(u,v)\nabla u+R(u,v)\nabla v),\\
A_{v}(v) & = & \nabla\cdot(Q(v)\nabla v)+c(x,t)v,
\end{eqnarray*}
其中
\begin{eqnarray*}
P(u,v) & = & d_{1}+2a_{11}u+a_{12}v,\\
R(u,v) & = & a_{12}u,\\
Q(v) & = & d_{2}+2a_{22}v,\\
c(x,t) & = & 0
\end{eqnarray*}
和
\begin{eqnarray*}
g(u,v) & = & u(a_{1}-b_{1}u-c_{1}v),\\
f(u,v) & = & v(a_{2}-b_{2}u-c_{2}v).
\end{eqnarray*}

$\mathbf{\text{关于}\,}\mathbf{(H1):}$

$(1)\,A_{u}(u,v):$ 明显$\,P(u,v)\geqslant d_{1}+2a_{11}u\geqslant d(1+u)>0$
满足论文的$\,(2.1),$ 并且$\,|R(u,v)|\leqslant a_{12}u$ 满足论文的$\,(2.2).$
函数$\,P$ 和$\,R$ 关于$\,u$ 和$\,v$ 的偏导数分别是
\begin{eqnarray*}
P_{u}=2a_{11}, &\quad  & P_{v}=a_{12},\\
R_{u}=a_{12}, &\quad  & R_{v}=0.
\end{eqnarray*}
它们都是正常数$,$ 从而也都是有界的$,$ 当然可以被$\,u,v$ 的零次幂控制住.

$(2)\,A_{v}(v):$ 明显$\,Q$ 是关于$\,v$ 的可微函数$,$ 且$\,Q(v)\geqslant d_{2}>0,$
所以满足论文的$\,(2.9).$

$\mathbf{\text{关于}\,}\mathbf{(H2):}$
\begin{eqnarray*}
|f(u,v)| & = & |v(a_{2}-b_{2}u)-c_{2}v^{2}|\\
& \leqslant & v(a_{2}+b_{2}u)+c_{2}v^{2}\\
& \leqslant & C(v)(a_{2}+c_{2}+b_{2}u)
\end{eqnarray*}
其中取$\,C(v)=\max\{1,v^{2}\}.$
\begin{eqnarray*}
g(u,v)u^{p} & = & u^{p+1}(a_{1}-b_{1}u-c_{1}v)\\
& \leqslant & a_{1}u^{p+1}\\
& \leqslant & C(v)(1+u^{p+1}),
\end{eqnarray*}
其中不妨取$\,C(v)\equiv a_{1}.$ 这说明了$\,f$ 和$\,g$ 满足论文的$\,(2.4).$

Verify H1 and H2

原文：https://www.cnblogs.com/zdzyh/p/12246746.html