现象，原理

有限和有时很难求，而经过极限由优先过渡到无限，则问题反而被简化
\[ \lim_{n\to\infty}1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{x^i}{i!}=e^x \]
在概率中，也有类似的现象，而概率论就是生活中规律的总结，支撑其发展的根基便是生活中的现象。

• 设\(X_1,X_2,\dots,X_n,\dots\)是独立同分布的随机变量，记他们的公共均值为\(a\),又设他们的方差存在并记为\(\sigma^2\),则对任意给定的\(\varepsilon>0\)，有，

\[ \lim_{n\to\infty}P(|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i-a|\ge\varepsilon)=0（伯努利大数定理） \]

称为“ \(\overline{X}_n\) 依概率收敛于 a ”，为了证明上述定理，我们需要引入马尔可夫概率不等式：

• 若Y为支取非负值的随机变量，则对任给常数\(\varepsilon >0\),有

\[ P（Y\ge\varepsilon）\le\frac{E(Y)}{\varepsilon}\ (马尔可夫不等式)\若Var（Y）存在，则:P(|Y-EY|\ge\varepsilon)\le\frac{Var(Y)}{\varepsilon^2}（切比雪夫不等式）\证明：\\begin{align} &\because E(Y)=\int_0^\infty yf(y)dy\ge\int_\varepsilon^\infty yf(y)dy\ge\varepsilon\int_\varepsilon^\infty f(y)dy=\varepsilon P(Y\ge\varepsilon),(1式得证)\\end{align}\令[Y-EY]^2代替Y。以\varepsilon^2代替\varepsilon，并注意P（|y|>a）=P(y^2>a^)，带入马尔可夫不等式可证明切比雪夫不等式 \]

• 可看到切比雪夫不等式实际上是马尔可夫不等式的一个特例

由上式，设\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i=\overline{X}_n\),可以证明：
\[ \because E(\overline X_n)=\sum_{i=1}^{n}E(X_i)/n=na/n=a\\begin{align} \therefore \lim_{n\to\infty}P(|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i-a|\ge\varepsilon) &=\lim_{n\to\infty}P(|\overline{X}_n-a|\ge\varepsilon)\&\leq\lim_{n\to\infty}\frac{Var(\overline X_n)}{\varepsilon^2}\&=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2\varepsilon^2}\sum_{i=1}^{n}Var(X_i)\&=\frac{1}{n^2\varepsilon^2}n\sigma^2\\&=\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\to0(当n\to\infty时) \end{align} \]

• 这是最早的一个大数定理——伯努利大数定理（1713），这既是我们常说的“频率收敛于概率”。

设\(X_1.X_2,\dots,X_n,\dots\)为独立同分布的随机变量，\(E(X_i)=a,Var(X_i)=\sigma^2(0<\sigma<\infty)\)。则对任何实数 x ，有
\[ \begin{align} \Phi(x)&=\lim_{n\to\infty}P(\frac{1}{\sqrt n\sigma}(\sum_{i=1}^nX_i-na)\leq x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2/2}dt\&=\lim_{n\to\infty}P(\frac{1}{\sqrt{np(1-p)}}(\sum_{i=1}^nX_i-np)\leq x) \end{align} \]
差不多了

从微观到宏观

原文：https://www.cnblogs.com/rrrrraulista/p/12255340.html