第五大题 设 $A_1,\cdots,A_n$ 为两两乘法可交换的 2019 阶实方阵, $f(x_1,\cdots,x_n)$ 是 $n$ 元实系数多项式. 令 $B=f(A_1,\cdots,A_n)$, 证明: 存在 $B$ 的某个特征值 $\lambda_0$, 使得方程 $f(x_1,\cdots,x_n)-\lambda_0=0$ 有一组实数解.
证明 我们先证明一个引理, 最后来证明本题的结论.
引理 $n$ 个两两乘法可交换的奇数阶实矩阵必有一个公共的实特征向量.
引理的证明 对 $n$ 进行归纳. 当 $n=1$ 时, $A_1$ 是奇数阶实矩阵, 其特征多项式是奇数次实系数多项式. 因为实系数多项式虚根成对出现, 故 $A_1$ 的特征多项式至少有一个实根, 即 $A_1$ 至少有一个实特征值, 从而至少有一个实特征向量. 设对 $n-1$ 个两两乘法可交换的奇数阶实矩阵, 它们必有一个公共的实特征向量. 现设 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是 $n$ 个两两乘法可交换的奇数阶实矩阵, 则 $A_1$ 必有一个代数重数为奇数的实特征值. 否则, 若 $A_1$ 的所有实特征值的代数重数都为偶数, 又共轭虚特征值的代数重数相等, 从而 $A_1$ 的阶数必为偶数, 矛盾! 设 $\lambda_1$ 是 $A_1$ 的实特征值, 其代数重数 $n_1$ 为奇数, 令 $$R_1=\{\alpha\in\mathbb{R}^n\mid (A_1-\lambda_1I_n)^{n_1}\alpha=0\}\subseteq\mathbb{R}^n.$$ 由矩阵秩的子式判别法可知, 矩阵的秩在基域扩张下不改变 (参考论文 [1]). 因此, $$\dim_{\mathbb{R}} R_1=n-r_{\mathbb{R}}((A_1-\lambda_1I_n)^{n_1})=n-r_{\mathbb{C}}((A_1-\lambda_1I_n)^{n_1})=\dim_{\mathbb{C}} R(\lambda_1)=n_1,$$ 其中 $R(\lambda_1)$ 是将 $A_1$ 看成复矩阵, 其特征值 $\lambda_1$ 对应的根子空间, 于是 $R_1$ 是一个奇数维 ($n_1$ 维) 的实线性空间. 由 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 两两乘法可交换, 容易证明 $R_1$ 是实线性变换 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 的不变子空间 (将实矩阵和实线性变换等同起来). 记 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 在 $R_1$ 上的限制为 $\widetilde{A_1},\widetilde{A_2},\cdots,\widetilde{A_n}$, 下面有两种方法来得到公共的实特征向量.
方法一 注意到 $\widetilde{A_2},\cdots,\widetilde{A_n}$ 是奇数维实线性空间 $R_1$ 上两两乘法可交换的线性变换, 故由归纳假设, 它们存在公共的实特征向量, 即存在 $0\neq\beta\in R_1$, 使得 $A_i\beta=\lambda_i\beta\,(2\leq i\leq n)$. 设 $$k=\max\{r\in\mathbb{Z}^{\geq 0}\mid (A_1-\lambda_1I_n)^r\beta\neq 0\},$$ 令 $\alpha=(A_1-\lambda_1I_n)^k\beta$, 则 $0\neq\alpha\in R_1$ 且 $(A_1-\lambda_1I_n)\alpha=(A_1-\lambda_1I_n)^{k+1}\alpha=0$, 即有 $A_1\alpha=\lambda_1\alpha$. 再由 $A_1$ 与 $A_2,\cdots,A_n$ 乘法可交换可知 $A_i\alpha=\lambda_i\alpha\,(2\leq i\leq n)$, 于是 $\alpha$ 就是 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 公共的实特征向量.
方法二 注意到 $\widetilde{A_1}$ 在 $R_1$ 上的特征多项式 $f_1(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{n_1}$. 对 $\widetilde{A_2},\cdots,\widetilde{A_n}$ 利用归纳假设可知, 存在 $\lambda_2,\cdots,\lambda_n\in\mathbb{R}$, 使得 $\bigcap\limits_{i=2}^n\mathrm{Ker}(\widetilde{A_i}-\lambda_iI_{R_1})\neq 0$. 注意到 $\bigcap\limits_{i=2}^n\mathrm{Ker}(\widetilde{A_i}-\lambda_iI_{R_1})\subseteq R_1$ 是 $\widetilde{A_1}$-不变子空间, 并且 $\widetilde{A_1}$ 限制在 $\bigcap\limits_{i=2}^n\mathrm{Ker}(\widetilde{A_i}-\lambda_iI_{R_1})$ 上只有一个实特征值 $\lambda_1$, 从而存在对应的实特征向量 $\alpha\in\bigcap\limits_{i=2}^n\mathrm{Ker}(\widetilde{A_i}-\lambda_iI_{R_1})$. 因此, $\alpha$ 就是 $\widetilde{A_1},\widetilde{A_2},\cdots,\widetilde{A_n}$ 公共的实特征向量. $\Box$
回到本题的证明: 由于 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是两两乘法可交换的 2019 阶实矩阵, 故由上述引理可知: 存在 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n\in\mathbb{R}$ 和 $0\neq \alpha\in\mathbb{R}^{2019}$, 使得 $A_i\alpha=\lambda_i\alpha\,(1\leq i\leq n)$. 于是 $$B\alpha=f(A_1,\cdots,A_n)\alpha=f(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\alpha,$$ 从而 $\lambda_0=f(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$ 是 $B$ 的一个特征值, 方程 $f(x_1,\cdots,x_n)=\lambda_0$ 有一组实数解 $x_1=\lambda_1,\cdots,x_n=\lambda_n$. $\Box$
注 高代教材第 270 页的习题 9 或高代白皮书的例 6.25 告诉我们: 两两乘法可交换的一组复矩阵必有一个公共的复特征向量, 本题中的引理正是这一结论的实数版本. 容易看出: 如果没有奇数阶的限制, 实数域版本的结论并不成立. 另外, 复数域版本和实数域版本的证明要点其实并不相同, 一个是直接考虑特征子空间, 另一个是转而考虑根子空间, 请有兴趣的读者思考这样做的原因.
参考文献
[1] 谢启鸿, 高等代数中若干概念在基域扩张下的不变性, 大学数学, 2015, 31(6), 50–55.
原文：https://www.cnblogs.com/torsor/p/12269011.html