论文共6节，第1节简单介绍了基本的舆论动力学模型结果和几个近期主题。第2节介绍了图论的基本概念，以及舆论动力学的基本模型Degroot模型和Friedkin-Johnsen模型，以及相关的数学公式和定理。第3节引入了个体自信/社会权力的概念，以及在社会权利思想上由DeGroot模型进化而来的的DeGroot Friedkin模型，并提出了许多新结果，讨论了的发展方向。第4节介绍了将观点分为表达观点和私人观点的EPO模型，并指出了由于模型研究而引起的许多有趣现象，并再次记录了未来工作的方向。在第5节中介绍了与逻辑相关的动态网络。最后在第6节中给出了结论。
意见动态(Opinion dynamics)是对动态模型(dynamical models)的开发和分析，这些模型描述了社交网络中个人如何交互和交换意见，个人在网络中有可能通过学习邻居的意见导致自己的意见随着时间(k)的推移而改变。许多意见动态模型(opinion dynamics models)都是基于主体的模型(agent-based models)，也就是一种微观模型，是从个体的角度出发来刻画观点的演变，其中每个个体对一个话题的意见都用一个真实的值(real value)表示，该值随时间而变化。用网络图形可以表示一个人的交互网络，其中一个节点代表一个人，而边则代表两个人之间的意见交互。
对于大型网络，基于主体的模型可能不太适合，但是对于小型网络仍然是有用的，因为许多小型协商小组会做出重要的决策。除了捕获简单共识的模型之外，有些DeGroot模型的变体在研究不同的社会现象是怎么产生的。比如Hegselmann-Krause模型使用有限置信度捕获了同质性，其中一个人仅与具有相似观点的其他人进行交互，随着时间的流逝，这些个人可能会分成不连续的簇，每个簇内部的最终意见相同，但簇和簇之间的最终意见不同(分类)。
极化，就是网络分为两个对立的观点。Altafini模型使用负边权重(negative edge weights)引入个体之间的对立性交互(antagonistic interactions)的概念，产生这种对立性的原因很多，比如讨厌或彼此不信任。如果网络是“结构上平衡的” ，并且满足适当的连接条件，则意见会极化分为两个对立的簇。有的模型提出了负面互动。极化也归因于个人倾向于对信息源的偏见同化(biased assimilation)。
上述大多数模型都捕获了网络的弱多样性，即其中同一簇中的个人观点之间没有差异性。人们越来越关注能够捕获强大多样性的模型，而这些模型在现实世界中经常被观察到。在这种情况下，意见最终会融合为具有不同范围的意见值，这是一种持久的不一致配置（并且在簇中可能存在具有相似但不相等的意见值的集合）。这种强大多样性模型，一种是考虑社交网络的强大多样性，这些社交网络随着时间的流逝保持某种形式的连通性。但是像在Hegselmann-Krause模型中所出现的那样最终完全断开的簇的在现实世界很少见；另一种是考虑几个问题：如果社会影响力正在使观点更紧密地联系在一起，那么还有什么其他过程在连接的网络中产生强大的多样性的过程中发挥着作用？
Mäs等人考虑了两个特征。第一个是“社会疏远”(social distancing)，即个人对与自己的观点相去甚远的观点价值施加负面权重。在Altafini模型中，对立权重的主要区别在于考虑的权重取决于观点的差异，而Altafini模型则假设负权重是恒定的或随时间变化（但与状态无关）的。第二个特征是个人的“渴望独特”(desire to be unique)，即当随着个人意见越来越接近网络的平均意见，与状态相关的噪声会不断增加。 Amelkin等人假设个人对人际关系的影响的敏感性取决于个人当前的观点，然后会出现很强的多样性，但这仅在模型的特殊情况下才会出现。Friedkin-Johnsen模型显示，由于个人对最初意见的固执(stubborn)（依强度而异）可能会产生强烈的多样性。 在现有的意见动力学中，Friedkin-Johnsen模型已通过小型网络的实验室实验和中型网络的准场实验得到了广泛验证。
首先，DeGroot Friedkin模型考虑了一个讨论一系列主题的社交网络，每次都使用DeGroot模型进行讨论。重大的问题是个人社会力量的演变，社会力量是个人在讨论过程中给予自己的意见的分量，社会力量的演变发生在当一个讨论主题结束而另一主题开始之前。一个人的社会力量会如何改变取决于他或她对上一次讨论结果的影响程度。一个人的社会力量通常随着他或她对讨论影响的增加增加，减少而减少。
其次，提出了一种新颖的意见动态模型EPO(expressed and private opinion)，以研究同一个人的表达意见(expressed opinion)和私人意见(private opinion)中的差异是如何产生。个人在社会环境中可以持有与他或她所表达的观点不同的私人观点。到目前为止，几乎所有的意见动态模型都假设每个人对每个主题持有一个观点。EPO模型假定每个人都有各自独立的表达和私人意见，它们分别演化。个人的私人意见是根据改良的Friedkin-Johnsen模型发展而来的，而他或她的表达意见由于要遵循平均表达意见(average expressed opinion)（代表群体标准或规范）的压力而与个人意见相悖。本文使用该模型回顾了社会心理学的两部经典著作：阿施的一致性实验和普伦蒂斯和米勒关于多元无知的田野实验数据，这些数据涉及普林斯顿大学校园对饮酒文化的接受。
最后第三个方向着重于讨论多个逻辑上相互依存的主题的网络。一个人很可能认为两个问题在逻辑上是相关的，因此由于信仰体系的原因，一个人的观点可能不会独立于他或她对另一个观点的看法而发展。信念系统(belief system)一词用于表示一组主题以及各个主题之间的逻辑连接。当一群人就逻辑上相互依存的主题表达意见时，一个人可能与小组成员的内部信仰体系一致，或者可能不一致。粗略地说，达成一致时更有可能达成共识。
$1_{n}$：表示n维全为1的列向量
$0_{n}$：表示n维全为0的列向量
$I_{n}$：表示n×n的单位阵
$e_{i}$：表示基单位向量，向量中除了第i个位置上为1外其余都为0
矩阵A为非负矩阵，意味着着其中所有的元素$a_{ij}\geq0$
矩阵A为正矩阵，意味着着其中所有的元素$a_{ij}> 0$
对于非负矩阵A，若$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\leq 1$，即每行元素和小于等于1，则称A为行次随机矩阵；若$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}= 1$，则称A为行随机矩阵；若$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}= 1$且$\sum_{j=1}^{n}a_{ji}= 1$，则称A为双随机矩阵。
谱半径：只有方阵才有谱半径，谱半径是方阵A的最大特征值的绝对值。$\rho (A)=max\left | \lambda _{i} \right |$
本原矩阵：若$\exists k\in N$，使得$A^{k}> 0$，则称非负方阵A为本原矩阵。
图论(Graph Theory)是数学的一个分支。它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。在本篇论文中用图来模拟一组个体之间的交互网络。
图的相关定义：
$g\left [ A \right ]=(V,\varepsilon \left [ A \right ],A)$，其中$V=\left \{ v_{1},v_{2},...,v_{n} \right \}$是图中的顶点，在文中表示单个个体；
边$e_{ij}= \left ( v_{i},v_{j} \right )$在$a_{ij}> 0$的时候，是有序集合$\varepsilon \left [ A \right ]$的元素；
若$\varepsilon \left [ A \right ]$中存在元素$e_{ii}$，则表示节点$v_{i}$有一个环(loop)；
$e_{ij}$是$v_{j}$的输入，是$v_{i}$的输出，意味着$v_{j}$会学习到有关$v_{i}$的信息(通常是一个意见值)；
通常$A\neq A^{T}$，所以这里假定$g\left [ A \right ]$是有向图；
$v_{i}$的邻居节点为$N_{i}= \left \{ v_{j}\in V:\left ( v_{j}, v_{i}\in \epsilon \left [ A \right ] \right ) \right \}$
如果存在一条直接路径，使得从$v_{j}$到达$v_{i}$，则称$v_{i}$是可以到达的，直接路径是边的集合。
强连通：在有向图$\varepsilon \left [ A \right ]$中，对于任何两个节点之间都存在路径就是强连通图。
有向图：出发点和终点是同一个点，且在路径上除了出发点/终点外没有重复的点，图的长度就是路径边的数量。
非周期性：任何有自回路的图都是非周期性的。
引理1：当且仅当A为本原矩阵时，$\varepsilon \left [ A \right ]$是强连通，非周期性的。
引理2(主导特征向量)：
对于强连通图$\varepsilon \left [ A \right ]$和行随机矩阵A，有严格正的左、右特征向量$u^{T}$和$1_{n}$
它们与A的特征值$\lambda _{1}=\rho \left ( A \right )= 1$相关，且正交化使得$u^{T}1_{n}=1$，那么$u^{T}$和$1_{n}$称为A的主导左、右特征向量。
DeGroot
DeGroot模型假定n个人讨论一个主题，用$g\left [ A \right ]$来建模个体之间的交互行为，$x_{i}\left ( k \right )$表示的是第i个人在k时刻的观点，时间k是离散值(k=0,1,2,...)，根据模型可以建模如下(1)：
$x_{i}\left ( k+1 \right )$=$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\left ( k \right )=\begin{bmatrix}
a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{ij} & ... & a_{in}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_{1}\left ( k \right )\\
x_{2}\left ( k \right )\\
...\\
x_{j}\left ( k \right )\\
...\\
x_{n}\left ( k \right )
\end{bmatrix}
$
即第i个人在第k+1时刻的观点同所有人前一时刻k的观点有关，$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}= 1$，所以A是非负的行随机矩阵。写出紧凑形式如下(2)：
$x\left ( k+1 \right )=\begin{bmatrix}
x_{1}\left ( k+1 \right )\\
...\\
x_{n}\left ( k+1 \right )
\end{bmatrix}= \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\
... & ... & ... & ...\\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_{1}\left ( k \right )\\
x_{2}\left ( k \right )\\
...\\
x_{n}\left ( k \right )
\end{pmatrix}= Ax\left (k \right )= A\begin{pmatrix}
x_{1}\left ( k \right )\\
x_{2}\left ( k \right )\\
...\\
x_{n}\left ( k \right )
\end{pmatrix}$
DeGroot模型又称加权平均模型，它假设在每个更新时刻，个体观点更新为其所有邻居节点观点的加权平均，其中权重由个体之间的相互影响刻画。
引理3：
假定是$g\left [ A \right ]$强连通的，那么当且仅当$g\left [ A \right ]$为非周期时模型会收敛如下：
$\lim_{k\rightarrow \infty }x\left ( k \right )=\beta 1_{n}$，$\beta \in R$
其中，$\beta =\delta ^{T}x\left ( 0 \right )$，且$\delta ^{T}$是A的主导左特征向量。
对于一些主观性强的问题，没有确切答案，所以此时令观点$x_{i}$为连续值(实数)比较好；对于一些有关导致行为的问题(是否问题)，x_{i}定义为离散值。
上述的$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}= 1$和$a_{ij}\geq0$确保了$x_{i}\left ( k+1 \right )$是$x_{j}\left ( k\right )$的凸组合/加权平均，使得(1)作为一种平均算法广泛应用于多主体一致的协调。
Friedkin-Johnsen models
原文：https://www.cnblogs.com/liuxiangyan/p/12300042.html