圆周率 π 展开 为 无穷级数 其实 很简单， 如图 ：
可以用 黄色小三角形 和 橙色小三角形， 以及 依此类推 下去 的 无数个 小三角形 来 逼近 圆面积， 把 这个 无限逼近 的 圆面积 称为 S，
因为 圆面积 = π r ² ， 所以， 有 S = π r ² ， π = S / r ² 。
即 用 无限逼近 的 圆面积 S 除以 r ² 就是 π ， 因为 S 是 无穷级数， 所以， S / r ² 就是 π 的 无穷级数 。
将 黄色 小三角形 称为 第 1 层 小三角形， 橙色 小三角形 称为 第 2 层 小三角形 ， 以此类推， 有 第 3 层 、 第 4 层 …… 第 n 层 小三角形， n -> 无穷 。
取 扇形 OAB 的 面积， 记为 S_扇OAB ， 设 圆 O 半径 为 r， 面积 为 S， 则 S_扇OAB = 1/4 * S = 1/4 * π r ² 。
则 π = 4 * S_扇OAB / r ² 。
所以， 只要 求出 S_扇OAB 的 无穷级数 ， 就可以 得到 π 的 无穷级数 。
S_扇OAB = S△OAB + S△1 + 2 * S△2 + 4 * S△3 + …… + 2^(n - 1) * S△n ， n -> 无穷
S△OAB 是 三角形 OAB 的 面积， S△1 是 第 1 层 小三角形 的 面积， S△2 是 第 1 层 小三角形 的 面积， S△n 是 第 n 层 小三角形 的 面积，
第 1 层 小三角形 有 1 个， 第 2 层 小三角形 有 2 个， 第 3 层 小三角形 有 4 个， 第 n 层 小三角形 有 2^(n - 1) 个 。
原文：https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12303911.html