这篇文章很早便完成了，期间我又写了小十篇“晦涩的科普“，反复回味的过程中我也不禁反思，除了让大家认识到了数学专业的枯燥意外，读者是否有其他收获？我看过一本书中曾写道，不怕别人不知道，怕的是你不知道他不知道。这句话在我实习以及和人交流技术心得的时候令我感触尤深。
于是，我又开始着手于重构我的文章。在我眼中，我的文章有很多闪光点，例如说把知识的层次解构，由浅极深的讲解一个复杂的定理，并且反复推敲定理的证明过程，力求精确以及通顺。但大家似乎并不感冒，用大白话来讲解一个定理似乎是读者们所喜闻乐见的，毕竟在信息碎片的时代，不是所有人都有时间来思考这些虚无缥缈的东西。
写作要求作者整理自己的思绪并且善于表达，所以善于写作的人一定善于思考。可读者不然，因为阅读不需求任何批判性思维：若不从作者本身的可信度到每一个用词时时盯防，读者也许就会盲目的听信一个对自己空弹琴的人。某种程度上，这样的读者是牺牲品；用自己的时间和脑容量，为一个本没有意义并随即消逝的思想提供了生存空间。
还是希望，为数不多的读者们在我这里能够有所思考，有所收获，共同沉浸在这个逻辑的世界里。
2020/2/22重写本文时瞎jb唠唠。
在我们学习数学分析的时候，曾经遇到过无穷级数这个概念。对于有限部分和的求解是十分困难的，而当我们把尺度上升到无穷个，则问题反而被简化，例如：
\[ \lim_{n\to\infty}（1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}）=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{x^i}{i!}=e^x \]
在概率统计世界中，也有类似的现象，用数学的语言来表述，我们可以抽象出两类问题：
- 随着试验次数增加，事件的频率会收敛于概率吗？
- 若干个随机变量求和，那么这个和的极限会服从什么样的分布规律？
下面我们就随着前人的脚步一步一步的探索，上面两条真理的逻辑化表述。
所谓的大数定理是指，对于一个事件\(A\)，我们设置了\(n\)次独立试验，每次观测它是否会发生，为此，我们定义一个随机变量\(X_i，(i=1,2,\dots,n)\)，所以在这\(n\)次实验中，我们可以记事件一共发生了”\(X_1+X_2+\dots+X_n\)“次。
若按照我们熟知的”频率会趋近于概率“，我们可以得出下式：
\[
P(A)=\lim_{n\to\infty}p_n=\lim_{n\to\infty}\frac{X_1+X_2+\dots+X_n}{n}=\lim_{n\to\infty}\overline{X}_n
\]
如果用更加生活化的语言来解释，我们可以想象，对于一个地区的平均收入，如果我们仅仅去调查某一个人的收入，他可能和真实的平均收入相祛甚远，而当我们统计了一万个人的收入后取其算术平均值，则该均值距离整体平均收入的偏差会小很多。而大数定律则对这一条生活中的规律从理论的高度做了概括与论证。
\[ \lim_{n\to\infty}P(|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i-a|\ge\varepsilon)=0（伯努利大数定理） \]
称为“ \(\overline{X}_n\) 依概率收敛于 a ”，为了证明上述定理，我们需要引入马尔可夫概率不等式：
\[ P（Y\ge\varepsilon）\le\frac{E(Y)}{\varepsilon}\ (马尔可夫不等式)\\]
证明：
\[ \begin{align} &\because E(Y)=\int_0^\infty yf(y)dy\ge\int_\varepsilon^\infty yf(y)dy\ge\varepsilon\int_\varepsilon^\infty f(y)dy=\varepsilon P(Y\ge\varepsilon)\\end{align}\\]
\[ P(|Y-EY|\ge\varepsilon)\le\frac{Var(Y)}{\varepsilon^2}（切比雪夫不等式）\\]
证明，由马尔可夫不等式：
\[ \begin{align} P（Y\ge\varepsilon）\leq& \frac{E(Y)}{\varepsilon}\P（[Y-EY]^2\ge\varepsilon^2）\leq& \frac{E([Y-EY]^2)}{\varepsilon^2}\\end{align}\\]
到注意\(P（|y|>a）=P(y^2>a)\)，因此
\[ P（Y\ge\varepsilon）\leq\frac{E([Y-EY]^2)}{\varepsilon^2}=\frac{Var(Y)}{\varepsilon^2}\\]
由上式，设\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i=\overline{X}_n\),可以证明：
\[
\begin{align}
\lim_{n\to\infty}P(|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i-a|\ge\varepsilon)
&=\lim_{n\to\infty}P(|\overline{X}_n-a|\ge\varepsilon)\(Chebyshev)&\leq\lim_{n\to\infty}\frac{Var(\overline X_n)}{\varepsilon^2}\(对于独立同分布的变量和的方差=方差之和)&=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2\varepsilon^2}\sum_{i=1}^{n}Var(X_i)\&=\frac{1}{n^2\varepsilon^2}(n\sigma^2)\(当n\to\infty时)&=\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\to0
\end{align}
\]
\[ \lim_{n\to\infty}P(|p_n-p|\geq\varepsilon)=0 \]
在生活中”定理“、”定律“、”定则“似乎有着同样的含义，但是在科学中，一般”定理“代表着能够通过严格的数学工具证明的理论事实，而”定律“则是一些”显而易见“却很难去证明的理论。
大数定律是讨论在什么条件下，随机变量序列的算术平均依概率收敛到其均值的算术平均，而中心极限定理则是讨论在什么样的条件下，独立随机变量和：
\[
Y_n=\sum_{i=1}^nX_i
\]
的分布函数会收敛于正态分布。
\[ \begin{align} p_X(x)*p_Y(y)::=p_Z(z) =&\int_{-\infty}^\infty p_X(z-y)p_Y(y)dy\=&\int_{-\infty}^\infty p_X(x)p_Y(z-x)dx \end{align} \]
设\(X_1.X_2,\dots,X_n,\dots\)为独立同分布的随机变量序列，\(E(X_i)=a,Var(X_i)=\sigma^2(0<\sigma<\infty)\)。则对任何实数 \(x\) ，有：
\[
\begin{align}
\Phi(x)&=\lim_{n\to\infty}P\left(\frac{1}{\sqrt n\sigma}(\sum_{i=1}^nX_i-na)\leq x\right)
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-t^2/2}dt\\end{align}
\]
原文：https://www.cnblogs.com/rrrrraulista/p/12255340.html