倒序相加求和法

前言

等差数列的前\(n\)项的求和公式推导方法，就是倒序相加求和法。

适用范围

①等差数列；

②更多的体现为对函数性质的考查，尤其是关于中心对称的函数，自然有对称性的数列的求和也可以；

典例剖析

例1【函数性质的应用】定义在\(R\)上的函数满足\(f(\cfrac{1}{2}+x)+f(\cfrac{1}{2}-x)=2\)

求值：\(S=f(\cfrac{1}{8})+f(\cfrac{2}{8})+f(\cfrac{3}{8})+\cdots+f(\cfrac{7}{8})\)．

\(S=f(\cfrac{1}{8})+f(\cfrac{2}{8})+f(\cfrac{3}{8})+\cdots+f(\cfrac{7}{8})①\)．

\(S=f(\cfrac{7}{8})+f(\cfrac{6}{8})+f(\cfrac{5}{8})+\cdots+f(\cfrac{1}{8})②\)．

相加，求和得到\(S=7\).

例2【函数性质的应用】求值：\(sin^21^{\circ}+sin^22^{\circ}+sin^23^{\circ}+\cdots+sin^288^{\circ}+sin^289^{\circ}=\)

分析：\(sin^21^{\circ}+sin^289^{\circ}=1\)，\(sin^22^{\circ}+sin^288^{\circ}=1\)，\(\cdots\)，\(sin^244^{\circ}+sin^246^{\circ}=1\)，\(sin^245^{\circ}=\cfrac{1}{2}\)，

故原式=\(44+\cfrac{1}{2}=44.5\)。

例3已知函数\(f(x)=x+sin\pi x-3\)，则\(f(\cfrac{1}{2017})+f(\cfrac{2}{2017})+\cdots\) \(+f(\cfrac{4032}{2017})+f(\cfrac{4033}{2017})\)的值为______.

【观察】：注意到\(\cfrac{1}{2017}+\cfrac{4033}{2017}=\cfrac{4034}{2017}=2\)，\(\cfrac{2}{2017}+\cfrac{4032}{2017}=\cfrac{4034}{2017}=2\)，\(\cdots\)，

【归纳】：以上诸多表达式，我们一般不会一一验证，如果我们用\(x\)和 \(2-x\)来代表上述不同表达式中的自变量，则到两端等距离的两项的函数值的和就可以归纳为\(f(x)+f(2-x)\)，

【猜想】：是否对任意\(x\)，都满足\(f(x)+f(2-x)=m\)(\(m\)为常数)？

【验证】：\(f(x)+f(2-x)=x+sin\pi x-3+(2-x)+sin\pi(2-x)-3\)

\(=sin\pi x+sin(2\pi-\pi x)-4=sin\pi x-sin\pi x-4=-4\)，

结论：\(f(x)+f(2-x)=-4\)。

解析：故\(f(\cfrac{1}{2017})+f(\cfrac{2}{2017})+\cdots\) \(+f(\cfrac{4032}{2017})+f(\cfrac{4033}{2017})\)

\(=[f(\cfrac{1}{2017})+f(\cfrac{4033}{2017})]+[f(\cfrac{2}{2017})+f(\cfrac{4032}{2017})]+\cdots+[f(\cfrac{2016}{2017})+f(\cfrac{2018}{2017})]+f(\cfrac{2017}{2017})\)

\(=2016\times(-4)+f(1)=-8064+1+0-3=-8066\)，故选\(D\)。

例4【利用类对称性求值】【2017宝鸡中学第一次月考第15题】已知函数\(f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}\)，则\(2f(2)+\)\(2f(3)+\)\(\cdots+2f(2017)\)\(+f(\frac{1}{2})+\)\(f(\frac{1}{3})\)\(+\cdots+f(\frac{1}{2017})\)\(+\frac{1}{2^2}f(2)+\)\(\frac{1}{3^2}f(3)+\cdots+\)\(\frac{1}{2017^2}f(2017)\)的值为多少？

分析：从研究函数的特殊性质入手，切入点是给定式子的结构；注意到自变量有\(2\)和\(\cfrac{1}{2}\)，

所以先尝试探究\(f(x)+f(\frac{1}{x})\)，结果，\(f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x^2}{1+x^2}+\cfrac{(\frac{1}{x})^2}{1+(\frac{1}{x})^2}=1\)，

这样就可以将中的一部分求值，剩余其他部分里面的代表为\(f(2)+\cfrac{1}{2^2}f(2)\)，

故接下来探究\(f(x)+\cfrac{1}{x^2}f(x)=？\)，结果发现\(f(x)+\cfrac{1}{x^2}f(x)=\cfrac{x^2}{1+x^2}+\cfrac{1}{x^2}\cdot\cfrac{x^2}{1+x^2}=1\)，

到此我们以及对整个题目的求解心中有数了，则整个题目的求解思路基本清晰了。

解析：由\(f(x)+f(\cfrac{1}{x})=1\)和\(f(x)+\cfrac{1}{x^2}f(x)=1\)，可将所求式子变形得到：

\(2f(2)+2f(3)+\cdots+2f(2017)+f(\frac{1}{2})+f(\frac{1}{3})+\cdots+f(\frac{1}{2017})+\frac{1}{2^2}f(2)\) \(+\frac{1}{3^2}f(3)+\cdots+\)\(\frac{1}{2017^2}f(2017)\)

\(=\{[f(2)+f(\frac{1}{2})]+[f(3)+f(\frac{1}{3})]+\cdots+[f(2017)+f(\frac{1}{2017})]\}\) \(+\{[f(2)+\frac{1}{2^2}f(2)]+[f(3)+\frac{1}{3^2}f(3)]+\cdots++[f(2017)+\frac{1}{2017^2}f(2017)]\}\)

\(=2016+2016=4032\).

倒序相加求和法

原文：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/12352964.html