求序列通项公式的一个方法。
考虑一个序列\(a_n=Aa_{n-1}+Ba_{n-2}\)的通项公式。
设\(x,y\)则有：
\(a_n-xa_{n-1}=y(a_{n-1}-xa_{n-2})\)
意义就是构造一个等比数列。
继续推：
\(a_n=(x+y)a_{n-1}-xya_{n-2}\)
等量代换：
\(A=x+y,B=-xy.\)
这个序列的特征方程定义为：\(x^2=Ax+B\)
解出来得到：\(x_1=\frac{A+\sqrt{A^2+4B}}{2},x_2=\frac{A-\sqrt{A^2+4B}}{2}\)
又因为\(A=x+y\)得到\(y_1=\frac{A-\sqrt{A^2+4B}}{2},y_2=\frac{A+\sqrt{A^2+4B}}{2}.\)
根据前面式子\(a_n-xa_{n-1}\)是公比为\(y\)的等比数列。
设另一序列\(S\)表示这个等比数列。
\(S_1=a_1-xa_0,S_i=a_i-xa_{i-1},S_i=S_1q^{i-1}\)
得到\(a_i-xa_{i-1}=(a_1-xa_0)q^{i-1}\)
对应两根\(x,y\)带入得到方程组：
\(a_i-x_1a_{i-1}=(a_1-x_1a_0)y_1^{i-1}\)
\(a_i-x_2a_{i-1}=(a_1-x_2a_0)y_2^{i-1}\)
联立一下方程：上式乘以\(x_2\),下式乘\(x_1\)得到
\(x_2a_i-x_1x_2a_{i-1}=x_2(a_1-x_1a_0)y_1^{i-1}\)
\(x_1a_i-x_1x_2a_{i-1}=x_1(a_1-x_2a_0)y_2^{i-1}\)
相减：
\((x_2-x_1)a_i=x_2(a_1-x_1a_0)y_1^{i-1}-x_1(a_1-x_2a_0)y_2^{i-1}\)
\(a_i=\frac{x_2(a_1-x_1a_0)y_1^{i-1}-x_1(a_1-x_2a_0)y_2^{i-1}}{x_2-x_1}\)
对比一下\(x,y\)的关系，可以得到：
\(y_1=x_2,y_2=x_1\)
于是，可以将式子转化为：
\(a_i=\frac{(a_1-x_1a_0)x_2^i-(a_1-x_2a_0)x_1^i}{x_2-x_1}\)
观察到，这个式子就是该序列的通项公式。
于是我们可以大力解出特征方程的解，带入如上式子得到通解。
原文：https://www.cnblogs.com/h-lka/p/12489384.html