我们为什么要引进p-adic？
一方面，在function theory中我们有power series expansion，而我们知道，Z上的数可以视作是C[z]里，定义域是Z上的素数空间的多项式。一个自然的问题是，我们能够利用Taylor expansion定义多项式的高阶导数，我们也想定义某种Z中数的类似结果。
另一方面，我们考虑丢番图方程。
我们可以自然地把Z和Q嵌入p-adic integer和p-aidc number里面。通过这一操作，我们可以把整数或是有理数进行类似Talor expansion的操作了：
考虑丢番图方程，
必要性是显然的，给出充分性的证明：
Remark：上面的定理告诉我们在p-adic域上解丢番图方程等价于在所有的p的n阶域上解方程，而考虑椭圆曲线上的有理点时，我们也有定理说明只需要所有p-adic number field上考虑，这就是第二个要考虑p-adic number的原因。
我们考虑p-adic value的原因是我们想要p-adic number converges。
我们回忆在function field里面我们也定义了valuation：
另一种定义p-adic number的方式是通过完备化，再次不提。
这些都在离散赋值环中做过讨论。
The p-adic Numbers & The p-adic Absolute Value & Valuations
原文：https://www.cnblogs.com/zny14/p/12500980.html