3. 零向量

• 零向量不等于一个带你，因为零向量没有定义某个位置。
• 零向量表示的是 “没有位移”，就像标量零表示的是 “没有数量” 一样

4.负向量

• 几何解释：向量变负，将得到一个和原向量大小相等，方向相反的向量

5.向量大小（长度或模）

• 公式：

  \[||v||=\sqrt{(v_x^2+v_y^2)}(对2D向量v) \]
  \[||v||=\sqrt{(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}(对3D向量v) \]

• 几何解释：对 2D 向量 v ，能构造一个以 \(v\) 为斜边的直角三角形，直角边的长度分别为分量 \(v_x\) ,\(v_y\) 的绝对值，斜边长度即为向量 \(v\) 的大小

6. 标量和向量的乘法

• 注意点

  • 标量和向量的乘法和除法优先级高于加法和减法，例如，\(3a+b\) 是 \((3a)+b\) ，而不是 \(3(a+b)\)
  • 标量不能除以向量，并且向量不能除以另一个向量

• 几何解释

  • 几何意义上，向量乘以标量 k 的效果是以因子 \(|k|\) 缩放向量的长度

7.标准化向量

• 应用背景：对于许多向量，只关心它的方向而不关心它的大小，例如，“我面向的是什么方向？”，在这样的情况下，使用单位向量将非常方便
• 几何解释
  • 2D 环境中，如果以原点为尾画一个单位向量，那么向量的头将接触到圆心在原点的单位圆，在 3D 环境中，单位向量将接触到单位球

8.向量的加法和减法

• 注意点

  • 向量不能和标量或维数不同的向量相加减
  • 和标量加法一样，向量加法满足交换律，但向量减法不满足交换律：永远有 \(a+b=b+a\) ，但 \(a-b=-(b-a)\) ，仅当 \(a=b\) 时，\(a-b=b-a\)

• 几何解释

  • 向量 a 和 b 相加的几何解释为：平移向量，使向量 a 的头连接向量 b 的尾，接着从 a 的尾向 b 的头画一个向量，即向量加法的 “三角形法则”
  • “三角形法则” 可以解释之前提到的：向量能被解释为与轴平行的位移序列。例如，向量 [1,-3,4] 为什么可以被解释为位移序列：向右1个单元，向下3个单元，向前4个单元
  \[\left[\begin{array}{c}1 \\-3 \\4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\0 \\0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0 \\-3 \\0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}0 \\0 \\4\end{array}\right] \]
  

10.向量点乘

• 向量点乘就是对应分量乘积的和，其结果是一个标量

• 点乘满足交换律：\(a \cdot b = b \cdot a\)

• 几何解释

  • 点乘等于向量大小与向量夹角的 cos 值的积：\(a \cdot b=||a|| ||b|| cos\theta\)

  • 两向量的夹角：\(\theta=arccos(\frac{a\cdot b}{||a||||b||})\)

  • 点乘的结果描述了两个向量的 “相似” 程度，点乘结果越大，两向量越相近

  • 点乘结果的符号可大致确定 \(\theta\) 的类型

  a·b	Θ	角度	a 和 b
  >0	0°≤Θ<90°		方向基本相同
  0	Θ≤90°		正交
  <0	90°＜Θ≤180°		方向基本相反

  

• 向量投影

  • 给定两个向量 \(v\) 和 \(n\)，能将 \(v\) 分解为两个分量：\(v_{\|}\) 和 \(v_{\perp}\) 。它们分别平行于和垂直于 \(n\)，并满足 \(v=v_{\perp}+v_{\|}\)。称平行分量 \(v_{\|}\) 为 \(v\) 在 \(n\) 上的投影

  • 使用点乘计算投影，几何解释：

    • \(\mathbf{v}_{\|}=\mathbf{n} \frac{\left\|\mathbf{v}_{\mathrm{u}}\right\|}{\|\mathbf{n}\|}\)

    • \(\begin{aligned} &\cos \theta=\frac{\left\|\mathbf{v}_{\|}\right\|}{\|\mathbf{v}\|}\&\cos \theta\|\mathbf{v}\|=\left\|\mathbf{v}_{\mathrm{\|}}\right\| \end{aligned}\)

    • 所以：

      \(\begin{aligned} \mathbf{v}_{\|} &=\mathbf{n} \frac{\|\mathbf{v}\| \cos \theta}{\|\mathbf{n}\|} \&=\mathbf{n} \frac{\|\mathbf{v}\|\|\mathbf{n}\| \cos \theta}{\|\mathbf{n}\|^{2}} \&=\mathbf{n} \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}}{\|\mathbf{n}\|^{2}} \end{aligned}\)

    

11.向量叉乘

• 叉乘仅可用于 3D 向量，叉乘得到一个向量，并且不满足交换律

• 计算公式

  \[\left[\begin{array}{l} x_{1} \y_{1} \z_{1} \end{array}\right] \times\left[\begin{array}{l} x_{2} \y_{2} \z_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} y_{1} z_{2}-z_{1} y_{2} \z_{1} x_{2}-x_{1} z_{2} \x_{1} y_{2}-y_{1} x_{2} \end{array}\right] \]

• 几何解释

  • 叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量
  

• \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 的方向判断

  • \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 垂直于 \(\mathbf{a}\) 、\(\mathbf{b}\) ，但垂直于 \(\mathbf{a}\) 、\(\mathbf{b}\) 有两个方向
  • 判断方法：右手螺旋定则：

• 叉乘的应用：创建垂直于屏幕、三角形或多边形的向量

《3D数学基础：图形与游戏开发》5.第5章 向量运算

原文：https://www.cnblogs.com/bky-hbq/p/12684022.html