取 \(\mathbb{R}\) 的子空间
在 \(X\) 上定义等价关系 \(\sim\)
取 \(Y\) 是 \(\sim\) 诱导的商空间 \(X/\sim\) .
取商映射 \(p:X\to Y\) 把 \(X\) 中的元素映到它所在的等价类.
取 \(X\) 的饱和子空间
令 \(p(A)\) 从空间 \(Y\) 继承子空间拓扑.
注意到
是 \(X\) 中的开集，它与 \(A\) 相交出 \(A\) 中的开集 \(\{1\}\)，
但是 \(p(\{1\})=\big\{p(1)\big\}=\big\{\{1\}\big\}\) 不是 \(p(A)\) 中的开集，否则假设 \(\big\{\{1\}\big\}\) 是 \(Y\) 中的某个开集 \(U\) 和 \(p(A)\) 的交，\(\{1\}\in U\) 导致 \(1\in p^{-1}(U)\)，又由于 \(p:X\to Y\) 是商映射，\(p^{-1}(U)\) 是 \(X\) 中的开集，注意到 \(1\) 是 \(X\) 的一个极限点，因此 \(1\) 的开邻域 \(p^{-1}(U)\) 中有异于 \(1\) 的点 \(\displaystyle 1+\frac{1}{n}\,(n\ge2)\)，从而 \(\displaystyle p\big(1+\frac{1}{n}\big)=\Big\{1+\frac{1}{n}，\frac{1}{n}\Big\}\in U\)，这导致 \(\big\{\{1\}\big\}=U\bigcap p(A)\) 中有异于 \(\{1\}\) 的元素 \(\displaystyle\Big\{\frac{1}{n}\Big\}\)，矛盾.
原文：https://www.cnblogs.com/chs2020/p/12731758.html