概率论基础：补充（1）概率的公理化定义与随机变量的概念

概率的公理化定义

为了准确理解与深入研究随机现象，我们不能满足于从直觉出发形成的概率定义（概率的稳定值或可能性大小的个人信念），必须把概率论建立在坚实的数学基础上，科尔莫哥洛夫1933年在《概率论基本概念》一书中用集合论观点和功利化方法成功解决了这个问题。

首先，可以看到事件的关系和集合关系之间存在着重要的联系。我们给出两者之间的对应关系，之后对于事件的研究就转化为对集合的研究。

• 条件 S 下的「事件」就是若干个结果的集合（即 \(\Sigma\) 的子集），所谓观察到事件 A 发生就是指 S 下出现的结果属于 A 。显然，\(\Sigma\) 本身是必然事件，空集 \(\varnothing\) 是不可能事件。
• 如果\(A\in \Sigma\)，则\(A^c=\Omega -A\)就是 A 的对立事件 \(\bar{A}\)。
• 所谓 A 与 B 不相容就是指\(A\cap B= \varnothing\)（即A与B不相交）。
• 事件的并和交分别归结为集合的并和交。

\(\Sigma\) 是任意的非空集合，叫作基本事件空间（样本空间），其背景是条件 S 下所有可能的不同结果的全体（每个结果是一个「基本事件」）

定义1: 设 \(\mathcal{F}\) 是由 \(\Sigma\) 的一些子集组成的集合（这种由集合组成的集合一般叫作集合系），\(P=P(\cdot)\) 是 \(\mathcal{F}\) 上有定义的实值函数。如果定义域 \(\mathcal{F}\) 和函数 P 满足下列条件：

1. $\Omega\in\mathcal{F} $
2. 若$A \in\mathcal{F} \(，则\)A^c=\Omega-A \in\mathcal{F}$
3. 若\(A_n \in\mathcal{F} (n=1,2,...)\)，则 $\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in\mathcal{F} $
4. \(P(A)\ge 0 (A\in \mathcal{F} )\)
5. \(P(\Omega)=1\)
6. 若\(A_n \in\mathcal{F} (n=1,2,..)\)且两两不相交，则\(P(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)=\sum_{n=1}^\infty P(A_n)\)

那么称 \(P\) 是 \(\mathcal{F}\) 上的概率测度（简称概率），\(?P(A)\) 为 \(A\) 的概率（也称 \(A\) 发生的概率）。附有 \(\mathcal{F}\) 和 \(P\) 的 \(\Omega\) 叫作概率空间，有时也说 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 是概率空间。

定义2: 设 \(\mathcal{F}\) 是由 \(\Omega\) 的一些子集组成的集合，具有上述 1-3 的性质，则称 \(\mathcal{F}\) 是 \(\Omega\) 中的 \(\sigma\) 域（或 \(\sigma\) 代数）。

其中前三条构成的集合称为 \(\sigma\) 域；而后三条，即非负性、完全性、可列可加性则是概率的公理化定义。

补充定义（测度）：设\(\mathcal{F}\)是由\(\Omega\)的一些子集组成的集合，\(\varnothing\in\mathcal{F}\)，称\(\mathcal{F}\)上有定义的函数\(\mu=\mu(\cdot)\)为测度，如果它满足：

• \(0\le\mu(A)\le+\infty\)
• \(\mu(\varnothing)=0\)
• 若\(A_n \in\mathcal{F} (n=1,2,...)\)两两不相交且 \(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{F}\)，则\(\mu(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)=\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)\)

可以看到，我们定义的概率测度是一种特殊的测度。

任意指定非空集合 \(\Omega\) 及 \(\Omega\) 中的一些子集组成的 \(\sigma\) 域 \(\mathcal{F}\) 以及\(\mathcal{F}\) 上有定义的概率 P ，所得到的三元组 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 是我们研究概率的基础和出发点。

• （前三条）首先指出，\(\sigma\) 域 \(\mathcal{F}\) 关于集合的基本运算是「封闭」的。即，任意个数（有限、可数）集合的交/并仍属于\(\mathcal{F}\)，两集合之差也属于\(\mathcal{F}\)。
• （后三条）其次，经由上述定义在 \(\sigma\) 域 \(\mathcal{F}\) 上的概率函数 P 有一系列的性质（在此省略）。

随机变量的概念

注意到，随机变量是概率论乃至统计学的核心概念之一，因此以下对这一概念进行进一步的阐释。

在《概率与统计》中，对于随机变量有两种定义（后者更为完全）

定义1: 如果条件 S 下所有可能的结果组成集合 \(\Omega=\{\omega\}\)， \(X=X(\omega)\) 是 \(\Omega\) 上有定义的实值函数，而且对任何实数 c，事件\(\{\omega: X(\omega)\le c\}\) 是有概率的，则称 X 是随机变量。

定义2: 设\((\Omega, \mathcal{F}, P)\)是概率空间， \(X=X(\omega)\)是\(\Omega\) 上有定义的实值函数，如果对任何实数x，集合\(\{\omega: X(\omega)\le x\}\) 属于\(\mathcal{F}\)，则称X是\((\Omega, \mathcal{F}, P)\)上的随机变量。

包含两个方面的内容：

1. 随机变量 \(X=X(\omega)\) 是基本事件 \(\omega\) 的函数，它体现随机而变
2. 虽然\(X=X(\omega)\) 的值不能预先确定（因为无法预料将出现什么样的 \(X=X(\omega)\) ，但是对给定的 x，事件\(\{\omega: X(\omega)\le x\}\) 是有确定概率的，这体现了随机变量的一种「规则性」

最后，给出 wiki 上的定义作为参考：

A random variable is a measurable function \(X: \Omega\rightarrow E\) from a set of possible outcomes \(\Omega\) to a measurable space \(E\). The technical axiomatic definition requires \(\Omega\) to be a sample space of a probability triple (see the measure-theoretic definition).
The probability that \(X\) takes on a value in a measurable set \({\displaystyle S\subseteq E}\) is written as
\({\displaystyle \operatorname {P} (X\in S)=\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in S\})}\),
where ${\displaystyle \operatorname {P} } $ is the _probability measure_on \({\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}\).

在这样严格定义的随机变量的概念下，用分布函数来刻画随机变量的概率特性：

定义：设 \(X=X(\omega)\)是随机变量，称函数

为 \(X\) 的分布函数，有时记为 \(F_X(x)\)。

由此定义的分布函数有以下三条性质

• 单调性：若\(a<b\)，则 \(F(a)\le F(b)\)
• \(\underset{x\rightarrow -\infty}{lim}F(x)=0, \underset{x\rightarrow +\infty}{lim}F(x)=1\)
• 右连续性：\(\underset{\delta\rightarrow 0+}{lim}F(x+\delta)=F(x)\)

后两条的证明可考虑事件并公式，注意到右连续性是从分布函数的定义推导出来的，在此基础上，有

• \(F(X<x)=F(x-0)\)
• \(F(a<X\le b)=F(b)-F(a)\)
• \(F(a\le X\le b)=F(b)-F(a)-0\)
• \(F(a<X< b)=F(b-0)-F(a)\)

概率论基础：补充（1）概率的公理化定义与随机变量的概念

原文：https://www.cnblogs.com/easonshi/p/12828674.html