Thm (拟一致收敛) 设 \(f_n\in C[a,b]\)，则 \(f(x):=\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上存在且连续 \(\iff\) \(\{f_n(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上拟一致收敛.
pf. 充分性. 只需证明如下命题：
若 \(f_n(a^+)\) 存在(\(\forall n\ge 1\)) 且 \(\{f_n(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上拟一致收敛于 \(f(x)\)，则存在 \(\{n\}\) 的子列 \(\{n_k\}\) 使得 \(\lim\limits_{k\to\infty}f_{n_k}(a^+)\) 与 \(f(a^+)\) 都存在，且 \(f(a^+)=\lim\limits_{k\to\infty}f_{n_k}(a^+)\).
(这样就可由 \(f_{n_k}\) 在 \(a\) 处右连续推出 \(f\) 在 \(a\) 处右连续，\([a,b]\) 中其他点处的右连续性同理；同理可证左连续的情形，从而由 \(f_n\) 在 \([a,b]\) 上连续推出 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续.)
设 \(c_k=f_{n_k}(a^+),k=1,2,\cdots\)
由拟一致收敛性，存在 \(\{n\}\) 的子列 \(\{n_k\}\) 以及开区间的族 \(\{(a_k,b_k)\}_{k=1}^{+\infty}\)，其中每个开区间包含点 \(a\)，并且 \(\forall \epsilon>0,\exists K,\forall k>K,\forall x\in(a_k,b_k)\cap[a,b],|f_{n_k}(x)-f(x)|<\epsilon\).
从而 \(\forall i,j>K,\forall 0<\delta<\min\{b_i,b_j\}-a\),
令 \(\delta\to 0^+\) 得 \(|c_i-c_j|\le 2\epsilon\).
由 Caughy 收敛准则存在极限 \(c:=\lim\limits_{k\to\infty}c_k=\lim\limits_{k\to\infty}f_{n_k}(a^+)\).
下证 \(f(a^+)=\lim\limits_{k\to\infty}f_{n_k}(a^+)\).
由于 \(\forall \epsilon>0,\exists K,\forall k>K,\forall 0<\delta<b_k-a,|f(a+\delta)-f_{n_k}(a+\delta)|<\epsilon\), 有
令 \(\delta\to 0^+\)，得
令 \(k\to\infty\)，得
由 \(\epsilon\) 的任意性， \(f(a^+)=\lim\limits_{\delta\to 0^+}f(a+\delta)=c=\lim\limits_{k\to\infty}f_{n_k}(a^+)\).
必要性. 任取 \(x_0\in [a,b]\)，由 \(\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x_0)=f(x_0)\) 知，\(\forall\epsilon>0,\forall N>0,\exists n_0>N\), s.t. \(|f_{n_0}(x_0)-f(x_0)|<\epsilon/2\). 由 \(f_{n_0}(x)\) 与 \(f(x)\) 的连续性知存在 \(x_0\) 的开邻域 \(U(x_0,\delta_0)\) s.t. \(\forall x\in U(x_0,\delta_0)\), \(|f_{n_0}(x)-f(x)|<\epsilon\). 这样的开邻域的族形成 \([a,b]\) 的开覆盖，由 Heine-Borel 定理，存在 \(U(x_1,\delta_1),\cdots,U(x_k,\delta_k)\) 使得 \(\bigcup_{i=1}^{k}U(x_i,\delta_i)\supset[a,b]\). \(\Box\)
Thm (Ascoli-Arzela 定理)
\([a,b]\) 上一致有界且等度连续的函数列 \(\{f_n(x)\}\) 有一致收敛的子列 \(\{f_{n_k}(x)\}\) .
pf. 由于点态收敛且等度连续推出一致收敛，我们只要证明 \(\{f_n(x)\}\) 有收敛的子列.
\([0,1]\) 中的有理数可以排成一个序列 \(\{q_k\}_{k=1}^{+\infty}\).
\(\{f_n(q_1)\}\) 是有界数列，从而有收敛子列 \(\{f_{1,k}(q_1)\}\),
\(\{f_{1,k}(q_2)\}\) 是有界数列，从而有收敛子列 \(\{f_{2,k}(q_2)\}\), \(\cdots\)
从而归纳定义出一个函数列的序列 \(\Big\{\{f_{j,k}(x)\}_{k=1}^{+\infty}\Big\}_{j=1}^{+\infty}\)，满足
? (1) \(\{f_{j,k}(x)\}\supset\{f_{j+1,k}(x)\},j\ge 1\)
? (2) \(\{f_{j,k}(q_j)\}\) 收敛，\(j\ge 1\)
取 \(\{f_n(x)\}\) 的子列 \(\{f_{j,j}(x)\}_{j=1}^{+\infty}\).
则对任意 \(i\ge 1\), \(\{f_{j,j}(q_i)\}_{j=1}^{+\infty}\) 收敛，即函数列 \(\{f_{j,j}(x)\}\) 在 \([0,1]\) 中的所有有理点上收敛.
下证 \(\{f_{j,j}(x)\}\) 在整个 \([0,1]\) 上收敛.
由 \(\{f_{n}(x)\}\) 在 \([0,1]\) 上等度连续，
对任意 \(t\in [0,1]\)，存在有理数 \(q_s\in [0,1]\) 使得 \(|t-q_s|<\delta\). 从而
由 \(\{f_{j,j}(q_s)\}\) 收敛，存在 \(N\)，当 \(i,j>N\) 时有 \(|f_{j,j}(q_s)-f_{i,i}(q_s)|<\epsilon\)，进而 \(|f_{j,j}(t)-f_{i,i}(t)|<3\epsilon\).
因此 \(\{f_n(x)\}\) 的子列 \(\{f_{j,j}(x)\}_{j=1}^{+\infty}\) 在 \([0,1]\) 上收敛. \(\Box\)
hw0430(补充题)：拟一致收敛；Ascoli Arzela 定理
原文：https://www.cnblogs.com/chs2020/p/12839873.html