打破认知观的一节，之前学习行列式都是从逆序数开始学起，学习行列式的性质，做大量计算练习，这里直接告诉我们行列式的值代表面积/体积，建立了与矩阵、线性变换的联系，真的是一语惊醒梦中人！
(1)行列式的意义
线性变换会对空间进行挤压或者拉伸，我们通过追踪空间基向量的变换，来查看单位面积(二维)/单位体积(三维)的面积或者体积缩放比例，而这个缩放比例，对应的就是行列式的值。
(2)我们就建立了线性变换、矩阵、行列式之间的关系。
(3)行列式值为0 表示将空间压缩到更低的维度
(4) 矩阵的列向量线性相关行列式的值0
在线性变换的时候，有的线性变换起到空间挤压的作用，有的线性变换起到了空间拉伸的作用，那么测量变换到底对空间拉伸或者挤压了多少。 我们可以追踪变换后基向量的面积大小。从这个层面上，建立了 “矩阵与行列式之间的关系”。
行列式的意义--面积的缩放发小
首先我们看一下剪切变换带来的面积变化？经过计算可得，剪切变换不仅带来了空间的挤压，而且保持面积不变。(如下图)
剪切变换面积保持不变
我们只要追踪基向量构成的单位面积的变化，因为其他区域面积变化的比例大小与单位面积变化的比例保持一致，这样就可以知道空间中任意区域面积变化的比例，这是因为线性变换保持“网格线平行且等距变换”。
任意平行区域的面积缩放比例--线性变换的性质相关
对于空间中任意区域的面积，借助微积分的思想，我们可以采用足够小方格来逼近区域的面积。
不规则区域面积求解
只要检验行列式的值是否为0，就能够判断线性变换是否将空间挤压到更小的维度。
挤压为一条直线
挤压为一个点
我们采用基向量来描述：
这样的结果就是空间取向发生了变换，即将整个空间翻转了一遍。（如下图）
为什么负值与空间取向有关?
以二维空间为例，基向量保持不变，基向量
逆时针逐渐靠近
三维空间中行列式的值代表着体积的缩放比例，我们关注的是单位立方体进行线性变换后的体积变化，对应行列式的值表示对应平行六面体的体积。
行列式为0，意味着空间被压缩为一个平面、一条直线、甚至是一个点。
矩阵线性相关 行列式的值0 ；
三维空间坐标系我们默认采用右手法则，（食指表示 ,中指表示
,拇指表示
）
右手法则
当空间变换后，仍然采用（食指表示，中指表示
，拇指表示
），这时候就只能用左手法则表示，这就意味着空间取向发生了翻转，行列式的值为负。
这个公式直观的理解就是：
，表示底为
,高为
的平行四边形的面积
,仍然表示底为
,高为
的平行四边形的面积
当行列式斜对角线的元素及
均不为0时，bc项就会告诉平行四变形在对角方向拉伸或者压缩了多少，bc项代表的含义如下图：
可以看出，行列式的值与面积有着紧密的联系。
用计算行列式的值来解释等式为什么成立会比较繁琐，我们采用行列式的几何意义来解释将会比较简单：
显然两者变换的方式是等价的，带来的面积缩放比例也是一致的，因此等式左右两边成立。
(1)行列式的意义
线性变换会对空间进行挤压或者拉伸，我们通过追踪空间基向量的变换，来查看单位面积(二维)/单位体积(三维)的面积或者体积缩放比例，而这个缩放比例，对应的就是行列式的值。
(2)我们就建立了线性变换、矩阵、行列式之间的关系。
(3)行列式值为0 表示将空间压缩到更低的维度
(4) 矩阵的列向量线性相关行列式的值0
原文：https://www.cnblogs.com/wkfvawl/p/12886446.html