一类简单而特殊数列的通项公式求法

前言

数学模型

例2【或称退一法】已知\(2^1a_1+2^2a_2+2^3a_3+\dots+2^na_n = n\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式 ；

分析：由题目可知，当\(n\geqslant 1\)时，\(2^1a_1+2^2a_2+2^3a_3+\dots+2^na_n = n\)，

则由已知可得，当\(n\ge 2\)时，\(2^1a_1+2^2a_2+2^3a_3+\dots+2^{n-1}a_{n-1} = n-1\)，

两式作差得到

当\(n\ge 2\)时，\(2^na_n =1\)，即\(a_n=\cfrac{1}{2^n}=(\cfrac{1}{2})^n\)，

又当\(n=1\)时，\(2^1a_1=1\)，即\(a_1=\cfrac{1}{2}\)，满足上式，

故所求通项公式为\(a_n=(\cfrac{1}{2})^n，n\in N^*\)。

【解后反思】此题目中涉及两个数列，其一数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，其二数列\(\{n\cdot a_n\}\)的前\(n\)项和为\(T_n\)，

典例剖析

思维提升

例2-对照(1)已知数列\(\{a_n\}\)前\(n\)项和为\(S_n\)，\(a_n=n\)，正项数列\(\{b_n\}\)满足\(b_1\cdot b_2 \cdot b_3 \cdots b_n= 2^{S_n}\)，求数列\(\{b_n\}\)的通项公式 ；

分析：积式用商

当\(n \ge 1\)时，\(b_1\cdot b_2 \cdot b_3 \cdots b_n= 2^{S_n} ①\)，

当\(n \ge 2\)时，\(b_1\cdot b_2 \cdot b_3 \cdots b_{n-1}= 2^{S_{n-1}}②\)，两式相除得到

当\(n \ge 2\)时，\(b_n=2^{S_n-S_{n-1}}=2^{a_n}\)，即\(b_n=2^{a_n}=2^n\)，

再验证，当\(n=1\)时，由已知式子可知\(b_1=2^{S_1}=2^{a_1}=2\)，满足上式，故数列\(\{b_n\}\)的通项公式为\(b_n=2^n\).

对应练习

一类简单而特殊数列的通项公式求法

原文：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/12932762.html