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数值分析--第四章--特征值特征向量计算(乘幂法)

时间:2020-05-31 19:17:49      阅读:90      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

摘要:n阶方阵A满足AX=λx,λ为 矩阵A的特征值,x为特征值对应的特征向量。 

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一.乘幂法(求模最大特征值及对应特征向量)

    设矩阵A有n个相性无关的特征向量x1,x2,x3,.....xn,相应的特征值λ1,λ2,λ3,.....λn(由大到小排列)。

    迭代法引入:上一章学了迭代法求解线性方程组Ax=b的解,给定任一 的初始值v0,不断迭代可以得到Ax=b的解。同理,给定任一非零的n维向量v0,不断迭代可以                  得到矩阵A的特征向量技术分享图片技术分享图片

 

    对于初始向量v0可以由A的n个线性无关的特征向量表示:技术分享图片

    带入迭代方程中:

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    当迭代次数k趋近于无穷大时,可得到最大特征值λ1对应的特征向量a1x1(与x1线性相关)

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    同理,当迭代次数趋近于无穷大时,可得到绝对值最大的特征值,λ1

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    其中,m表示向量中的绝对值最大的那个元素值 

 

    如何利用迭代法求解按模最大特征值和特征向量

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    说明:

    1.初始值:我们给定初始值x0=[1,1,1]^T,取特征值1

    2.第一次迭代:

    技术分享图片   对应的近似特征值取:技术分享图片

 

    3.第二次迭代:

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二.改进乘幂法

    这个规范化处理的目的:防止数据溢出或是数据消失

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     从上面可以看出,改进乘幂法即是每次迭代出的特征向量都进行一次规范化处理   

 

数值分析--第四章--特征值特征向量计算(乘幂法)

原文:https://www.cnblogs.com/liuhuacai/p/13019406.html

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