一、前提

以下的论述都基于这样一个前提：

R是具有函数依赖集F的关系模式，（R1 ，R2）是R的一个分解。

二、属性集的闭包

首先我们给出一个看似无关却非常重要的概念：属性集的闭包。
令α为一属性集。我们称在函数依赖集F下由α函数确定的所有属性的集合为F下α的闭包，记为α+ 。
下面给出一个计算α+的算法，该算法的输入是函数依赖集F和属性集α，输出存储在变量result中。

算法一：

result:=α;
while(result发生变化)do
    for each 函数依赖β→γ in F do
    begin
        if β∈result then result:=result∪γ;
    end

看不明白？不要紧我们往下看：

属性集闭包的计算有以下两个常用用途：
·判断α是否为超码，通过计算α+（α在F下的闭包），看α+ 是否包含了R中的所有属性。若是，则α为R的超码。
·通过检验β是否在α+里，来验证函数依赖是否成立。也就是说，用属性闭包计算α+，看它是否包含β。

一个例子：

● 给定关系R(A1，A2，A3，A4)上的函数依赖集F={A1→A2，A3→A2，A2→A3，A2→A4}，R的候选关键字为________。
（37）A. A1 　B. A1A3 　C. A1A3A4 　D. A1A2A3

首先我们按照上面的算法计算A1+ 。
result=A1，
由于A1→A2，A1∈result，所以result=result∪A2=A1A2
由于A2→A3，A2∈result，所以result=result∪A3=A1A2A3
由于A2→A4，A2∈result，所以result=result∪A3=A1A2A3A4
由于A3→A2，A3∈result，所以result=result∪A2=A1A2A3A4

通过计算我们看到，A1+ =result={A1A2A3A4}，所以A1是R的超码，理所当然是R的候选关键字。此题选A 。

三、无损分解和保持依赖

一个例题：

●设关系模式R<U, F>，其中U=｛A, B, C, D, E｝，F＝{A→BC，C→D，BC→E，E→A｝，则分解ρ={R1（ABCE），R2（CD）｝满足 （43） 。
（43） A．具有无损连接性、保持函数依赖
              B．不具有无损连接性、保持函数依赖
              C．具有无损连接性、不保持函数依赖
              D．不具有无损连接性、不保持函数依赖

再做保持依赖的判断。
A→BC，BC→E， E→A都在R1上成立（也就是说每一个函数依赖左右两边的属性都在R1中），C→D在R2上成立，因此给分解是保持依赖的。

选A。

复杂点的例题

●给定关系模式R<U, F>，U=｛A, B, C, D, E｝，F＝{B→A，D→A，A→E，AC→B｝，其候选关键字为 
（40）  ，则分解ρ={R1（ABCE），R2（CD）｝满足 （41） 。
（40） A．ABD
              B．ABE
              C．ACD
              D．CD
（41） A．具有无损连接性、保持函数依赖
              B．不具有无损连接性、保持函数依赖
              C．具有无损连接性、不保持函数依赖
              D．不具有无损连接性、不保持函数依赖

看见了吧，和前面一题多么的相像！
对于第一问，分别计算ABCD四个选项的闭包，
（ABD）+ = { ABDE }
（ABE）+ = { ABE }
（ACD）+ = { ABCDE }
（CD）+ = { ABCDE }
选D。

再做保持依赖的判断。
B→A，A→E，AC→B在R1上成立，D→A在R1和R2上都不成立，因此需做进一步判断。
由于B→A，A→E，AC→B都是被保持的（因为它们的元素都在R1中），因此我们要判断的是D→A是不是也被保持。

对于D→A应用算法二：
result=D
对R1，result∩R1=∅ ，t=∅，result=D
再对R2，result∩R2=D，D+ =ADE ，t=D+ ∩R2=D，result=D
一个循环后result未发生变化，因此最后result=D，并未包含A，所以D→A未被保持，该分解不是保持依赖的。

【数据库】-- 无损分解和保持依赖

原文：https://www.cnblogs.com/jyf2018/p/13034402.html