我们用专业一点的术语表达，大概是这样子的：
若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点（通常是源节点和阱节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。
——摘自百度百科
但是完全不用关那些个专业的东西，我们通过字面意思大概就能Get到——求出某个点走到某个点之间的权值之和最小。
比如我们有一张图：
比如我们要求出从点1到点5的最短路就是这样的
点1->点2（走了4），点2->点5（走了1），这样点1到点5的最短距离就是5，（因为找不到比5更短的路可以从点1到点5）最短路就是1->4->5。
在介绍Floyd算法之前，我们先思考这样一个问题：
有一张图，我们要求出最短路。怎么做？
我们可以间接的把它看成一个DP来搞，那么状态就是这样的：
我们枚举点k，i，j，并假设i是起始点。
如果i->j的当前最短路长度 > i->k的最短路长度+k->j的最短路长度，我们就更新i->j的最短路长度是i->k+k->j。
什么意思呢？仔细思考一下，得出如下结果：
我们如果从某点直接到x点比先到y点再到x点的路径之和还要长的话，当然就要更新“某点”到x点的最短距离啦！
对于这个思想，科学家已经给出了证明，我这里不再赘述。
（以下是证明过程，反正我是看不懂，但是NOI又不考算法为什么对，其实我们只要知道算法的正确性和怎么应用就好了，至于证明，那是数学家的事情）
我们知道了Floyd算法的大致框架了，在康代码之前，还有一个不能忽略的问题：它的适用范围是什么。
（毕竟最短路有三种算法，算法竞赛的时候不一定考哪种，万一用错了算法……）
适用范围：存在负权边但是没有负权回路的有向图、无向图。（所有算法都不能解决负权回路，因为那样根本不存在最短路）
时间复杂度O（n^3）时间复杂度要特别注意，当有500个点的时候就已经很危险了。
空间复杂度O（n^2）邻接矩阵限制了空间复杂度不能再优化了。
结果调用方法：存在邻接矩阵里，其中f[i][j]表示i->j的最短路长度。
算法主体代码长度（不包括初始化等等）：150B。
整个求最短路代码长度：约600B（已经是最短路算法中最短的了）。
初始化注意事项：先把邻接矩阵初始化为0x3f，然后把所有f[i][i]初始化为0。
具体思路和注意事项我上面已经讲得很清楚了，我这里直接上模板代码。
#include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> #define N 1010 void floyd() { for(int k=1;k<=n;k++)//枚举中间点k(一定一定是在最外层循环！) for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=i;j++) dist[i][j]=max(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j]); //如果更优，更新最优解 } int main() { memset(dist,0x3f,sizeof(dist));//memset初始化 scanf("%d%d",&n,&m);//n点m边图 for(int i=1;i<=m;i++) { int x,y,z; scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); dist[x][y]=z; dist[y][x]=z;//初始化无向图邻接矩阵 } for(int i=1;i<=n;i++) dist[i][i]=0;//对角线重新赋值为0 floyd();//调用Floyd解决最短路问题 for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=n;j++) { printf("%d ",dist[i][j]);//输出所有i->j的最短路径 } printf("\n"); } return 0; }
我在某洛谷上找到了这样两个题，很适合初学最短路算法的选手：
https://www.luogu.com.cn/problem/P2910
https://www.luogu.com.cn/problem/P1828
值得注意的是：这两个题目不一定要用Floyd算法来解决，但是我们今天拿这两个题简单说说Floyd的实现注意事项。
首先看第一个题：洛谷P2910
虽然有超链接，我还是把题目的图贴上来吧。
这个题目没有直白的说“求最短路”（可能是板子题最后的尊严）但是明眼人都看出来了，出题人把权值抽象成了“危险程度”，规定了几个节点是必须访问的，求从出发点经过这些必须访问的节点的最短路径长度。
读懂了题意之后，思考这样一个问题：我们要用什么算法做这个题（这很重要！再次重申，最短路算法有三个，我们要选出最能对付这个题，在AC的前提下找出写起来最简单的算法）
首先看空间复杂度：点的个数N<=100也就是说，满足邻接矩阵的空间复杂度和时间复杂度。
必须到达的点有M<=10000个，也就是说，我们要求10000次单源最短路，Floyd算法可以一次性求出一张图内任意两点间的最短路。
综上所述，这个题满足使用Floyd算法的要求，并且我们说过，Floyd算法是最好写的单源最短路算法（没有之一！！！）
具体思路简单BB一下，我们求出最短路之后，用存下“必须经过的点”的数组，把相邻元素的最短路一次次累加，最后就可以得到最终答案。
上AC代码：
//#include<guxinlin&sutang> //GXL AK IOI #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> #define N 110 #define M 10010 #define sutang 0 using namespace std; int v[N][N],vis[M],dis[N][N],n,m,ans; void floyd() { for(int k=1;k<=n;k++) for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]); } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&vis[i]); for(int i=1;i<=n;i++) { dis[i][i]=0; for(int j=1;j<=n;j++) { scanf("%d",&v[i][j]); dis[i][j]=v[i][j]; } } floyd(); for(int i=2;i<=m;i++) ans+=dis[vis[i-1]][vis[i]]; printf("%d",ans); return sutang; }
下一个题目，洛谷P1828
先上题目截图：
一眼看过去，节点数P<=800，800^3=512000000（5亿一千二百万）这个复杂度已经很危险了，但是为什么我们用Floyd算法AC掉了这个题呢？
下面是重点部分了，另外，上面的题的正解是n次堆优化dijkstra算法或者n次SPFA算法。
其实这个题我本来没有用Floyd算法做，（我是用的SPFA通过的评测）但是我看到题解去的大神们写了这样一篇题解，提到了Floyd灵魂剪枝。
我觉得是很有用的一个小技巧，而且实现起来非常简单。于是我就把这个小技巧分享给大家。
具体思路是：如果给出的图是无向边，我们用邻接矩阵存图的时候是把无向边当成两条相反、长度相等的有向边来存的，这就导致我们循环枚举的的时候，更新了两次这个无向边，浪费了宝贵的时间。所以当图是无向图的时候，我们只需要枚举一半的边，更新的时候一下子更新两条边的最短距离，就可以优化一半的复杂度。（但是这个复杂度还是很高，只是一个小技巧，不是大优化）
说完了剪枝策略，我们来说说这个题的具体思路：
首先，每个节点可能有多个牛，我们就需要把第i头牛在第j个牧场记下来。
其次，我们需要找出一个点，使其到这些有奶牛的点距离之和最小，确认是最短路算法。我们不知道哪个点距离和最小，所以我们需要把所有点到所有点的单源最短路求出来，然后枚举每一个点的距离之和，找出最小值。找出所有点的单源最短路，Floyd算法可以做到。加上我们的剪枝策略，再加上O2优化，Floyd算法可以在1000ms内给出结果。
#include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> #define IAKIOI 0 #define N 1010 using namespace std; int cow[N],dist[N][N],n,m,q,ans=99999999; void floyd() { for(int k=1;k<=n;k++) { for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=i;j++)//枚举一半，剩下的手动更新 { if(dist[i][j]>dist[i][k]+dist[k][j]) { dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j]; dist[j][i]=dist[i][j];//手动更新另一条边 } } } } } int main() { memset(dist,0x3f,sizeof(dist));//初始化 scanf("%d%d%d",&q,&n,&m); for(int i=1;i<=q;i++)//记录第i头牛所在牧场是cow[i] scanf("%d",&cow[i]); for(int i=1;i<=m;i++) { int x,y,z; scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); dist[x][y]=z;//数据里没有重边，所以不用特判（其实是我忘了 dist[y][x]=z; } for(int i=1;i<=n;i++)//初始化 dist[i][i]=0; floyd();//调用Floyd解决问题 for(int i=1;i<=n;i++) { int qaq=0; for(int j=1;j<=q;j++)//枚举第i个点的 { qaq+=dist[i][cow[j]];//累加第i个点的总路程 } ans=min(ans,qaq);//如果比最优答案还优，更新他 } printf("%d",ans);//输出答案 return IAKIOI; }
好了今天的最短路学习分享就到这里，喜欢的记得三连QAQ（卑微博主求关注）
原文：https://www.cnblogs.com/zaza-zt/p/13038765.html