其实很naive...
证明的主要意义在于说明两种运算如有分配律就可以做矩乘
若二元运算 \(\oplus , \otimes\) 分别满足交换律，且有 \(\otimes\) 对 \(\oplus\) 的分配律，即
\[a \otimes ( b \oplus c ) = a \otimes b + a \otimes c = (b \oplus c) \otimes a
\]
（事实上如果没有交换律矩阵乘法根本就没有意义）
据此定义矩阵乘法 \(A * B = C\) ，即
\[C_{i,j} = \bigoplus _{k=1}^n A_{i,k} \otimes B_{k,j}
\]
（ \(A,B,C\) 为矩阵，用 \(A_{i,j}\) 表示矩阵 \(A\) 中第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素）
则矩阵乘法具有结合律：
\[(A*B)*C = A*(B*C)
\]
证明：
\[\begin{aligned}
( ( A*B ) *C ) _{i,j}
&= \bigoplus_{k=1}^{n} (A*B)_{i,k} \otimes C_{k,j} \&= \bigoplus_{k=1}^{n} (\bigoplus_{l=1}^n A_{i,l} \otimes B_{l,k}) \otimes C_{k,j} \&= \bigoplus_{k=1}^{n} \bigoplus_{l=1}^n A_{i,l} \otimes B_{l,k} \otimes C_{k,j} \quad &\text{...分配律} \&= \bigoplus_{l=1}^{n} \bigoplus_{k=1}^n A_{i,l} \otimes B_{l,k} \otimes C_{k,j} \quad &\text{...交换律更换枚举} \&= \bigoplus_{l=1}^{n} A_{i,l} \otimes ( \bigoplus_{k=1}^n B_{l,k} \otimes C_{k,j} ) \quad &\text{...分配律} \&= \bigoplus_{l=1}^{n} A_{i,l} \otimes ({B*C})_{l,j} \&= (A*(B*C))_{i,j}
\end{aligned}
\]
2020/06/06
关于矩阵乘法结合律的证明
原文：https://www.cnblogs.com/sun123zxy/p/13056179.html
