leetcode题解之合并K个排序链表

时间：2020-06-11 12:38:32 阅读：44 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

合并 k 个排序链表，返回合并后的排序链表。请分析和描述算法的复杂度。

示例:

输入:
[
  1->4->5,
  1->3->4,
  2->6
]
输出: 1->1->2->3->4->4->5->6

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前置知识：合并两个有序链表

思路
在解决「合并K个排序链表」这个问题之前，我们先来看一个更简单的问题：如何合并两个有序链表？假设链表 $a$ 和 $b$ 的长度都是 $n$ ，如何在 $O(n)$ 的时间代价以及 $O(1)$ 的空间代价完成合并？ 这个问题在面试中常常出现，为了达到空间代价是 $O(1)$ ，我们的宗旨是「原地调整链表元素的 next 指针完成合并」。以下是合并的步骤和注意事项，对这个问题比较熟悉的读者可以跳过这一部分。此部分建议结合代码阅读。

首先我们需要一个变量 head 来保存合并之后链表的头部，你可以把 head 设置为一个虚拟的头（也就是 head 的 val 属性不保存任何值），这是为了方便代码的书写，在整个链表合并完之后，返回它的下一位置即可。
我们需要一个指针 tail 来记录下一个插入位置的前一个位置，以及两个指针 aPtr 和 bPtr 来记录 $a$ 和 $b$ 未合并部分的第一位。注意这里的描述，tail 不是下一个插入的位置，aPtr 和 bPtr 所指向的元素处于「待合并」的状态，也就是说它们还没有合并入最终的链表。 当然你也可以给他们赋予其他的定义，但是定义不同实现就会不同。
当 aPtr 和 bPtr 都不为空的时候，取 val 熟悉较小的合并；如果 aPtr 为空，则把整个 bPtr 以及后面的元素全部合并；bPtr 为空时同理。
在合并的时候，应该先调整 tail 的 next 属性，再后移 tail 和 *Ptr（aPtr 或者 bPtr）。那么这里 tail 和 *Ptr 是否存在先后顺序呢？它们谁先动谁后动都是一样的，不会改变任何元素的 next 指针。

代码

ListNode* mergeTwoLists(ListNode *a, ListNode *b) {
    if ((!a) || (!b)) return a ? a : b;
    ListNode head, *tail = &head, *aPtr = a, *bPtr = b;
    while (aPtr && bPtr) {
        if (aPtr->val < bPtr->val) {
            tail->next = aPtr; aPtr = aPtr->next;
        } else {
            tail->next = bPtr; bPtr = bPtr->next;
        }
        tail = tail->next;
    }
    tail->next = (aPtr ? aPtr : bPtr);
    return head.next;
}

复杂度

时间复杂度： $O(n)$ 。
空间复杂度： $O(1)$ 。

方法一：顺序合并

思路

我们可以想到一种最朴素的方法：用一个变量 ans 来维护以及合并的链表，第 $i$ 次循环把第 $i$ 个链表和 ans 合并，答案保存到 ans 中。

代码

class Solution {
public:
    ListNode* mergeTwoLists(ListNode *a, ListNode *b) {
        if ((!a) || (!b)) return a ? a : b;
        ListNode head, *tail = &head, *aPtr = a, *bPtr = b;
        while (aPtr && bPtr) {
            if (aPtr->val < bPtr->val) {
                tail->next = aPtr; aPtr = aPtr->next;
            } else {
                tail->next = bPtr; bPtr = bPtr->next;
            }
            tail = tail->next;
        }
        tail->next = (aPtr ? aPtr : bPtr);
        return head.next;
    }
<span class="hljs-function">ListNode* <span class="hljs-title">mergeKLists</span><span class="hljs-params">(<span class="hljs-built_in">vector</span>&lt;ListNode*&gt;&amp; lists)</span> </span>{
    ListNode *ans = <span class="hljs-literal">nullptr</span>;
    <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-keyword">size_t</span> i = <span class="hljs-number">0</span>; i &lt; lists.size(); ++i) {
        ans = mergeTwoLists(ans, lists[i]);
    }
    <span class="hljs-keyword">return</span> ans;
}

};

复杂度

时间复杂度：假设每个链表的最长长度是 $n$ 。在第一次合并后，ans 的长度为 $n$ ；第二次合并后，ans 的长度为 $2\times n$ ，第 $i$ 次合并后，ans 的长度为 $i\times n$ 。第 $i$ 次合并的时间代价是 $O(n + (i - 1) \times n) = O(i \times n)$ ，那么总的时间代价为 $O(\sum_{i = 1}^{k} (i \times n)) = O(\frac{(1 + k)\cdot k}{2} \times n) = O(k^2 n)$ ，故渐进时间复杂度为 $O(k^2 n)$ 。
空间复杂度：没有用到与 $k$ 和 $n$ 规模相关的辅助空间，故渐进空间复杂度为 $O(1)$ 。

方法二：分治合并

思路

考虑优化方法一，用分治的方法进行合并。

将 $k$ 个链表配对并将同一对中的链表合并；
第一轮合并以后， $k$ 个链表被合并成了 $\frac{k}{2}$ 个链表，平均长度为 $\frac{2n}{k}$ ，然后是 $\frac{k}{4}$ 个链表， $\frac{k}{8}$ 个链表等等；
重复这一过程，直到我们得到了最终的有序链表。

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代码

class Solution {
public:
    ListNode* mergeTwoLists(ListNode *a, ListNode *b) {
        if ((!a) || (!b)) return a ? a : b;
        ListNode head, *tail = &head, *aPtr = a, *bPtr = b;
        while (aPtr && bPtr) {
            if (aPtr->val < bPtr->val) {
                tail->next = aPtr; aPtr = aPtr->next;
            } else {
                tail->next = bPtr; bPtr = bPtr->next;
            }
            tail = tail->next;
        }
        tail->next = (aPtr ? aPtr : bPtr);
        return head.next;
    }
<span class="hljs-function">ListNode* <span class="hljs-title">merge</span><span class="hljs-params">(<span class="hljs-built_in">vector</span> &lt;ListNode*&gt; &amp;lists, <span class="hljs-keyword">int</span> l, <span class="hljs-keyword">int</span> r)</span> </span>{
    <span class="hljs-keyword">if</span> (l == r) <span class="hljs-keyword">return</span> lists[l];
    <span class="hljs-keyword">if</span> (l &gt; r) <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-literal">nullptr</span>;
    <span class="hljs-keyword">int</span> mid = (l + r) &gt;&gt; <span class="hljs-number">1</span>;
    <span class="hljs-keyword">return</span> mergeTwoLists(merge(lists, l, mid), merge(lists, mid + <span class="hljs-number">1</span>, r));
}

<span class="hljs-function">ListNode* <span class="hljs-title">mergeKLists</span><span class="hljs-params">(<span class="hljs-built_in">vector</span>&lt;ListNode*&gt;&amp; lists)</span> </span>{
    <span class="hljs-keyword">return</span> merge(lists, <span class="hljs-number">0</span>, lists.size() - <span class="hljs-number">1</span>);
}

};

复杂度

时间复杂度：考虑递归「向上回升」的过程——第一轮合并 $\frac{k}{2}$ 组链表，每一组的时间代价是 $O(2n)$ ；第二轮合并 $\frac{k}{4}$ 组链表，每一组的时间代价是 $O(4n)$ ......所以总的时间代价是 $O(\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{k}{2^i} \times 2^i n) = O(kn \times \log k)$ ，故渐进时间复杂度为 $O(kn \times \log k)$ 。
空间复杂度：递归会使用到 $O(\log k)$ 空间代价的栈空间。

方法三：使用优先队列合并

思路

这个方法和前两种方法的思路有所不同，我们需要维护当前每个链表没有被合并的元素的最前面一个， $k$ 个链表就最多有 $k$ 个满足这样条件的元素，每次在这些元素里面选取 val 属性最小的元素合并到答案中。在选取最小元素的时候，我们可以用优先队列来优化这个过程。

代码

class Solution {
public:
    struct Status {
        int val;
        ListNode *ptr;
        bool operator < (const Status &rhs) const {
            return val > rhs.val;
        }
    };
priority_queue &lt;Status&gt; q;

<span class="hljs-function">ListNode* <span class="hljs-title">mergeKLists</span><span class="hljs-params">(<span class="hljs-built_in">vector</span>&lt;ListNode*&gt;&amp; lists)</span> </span>{
    <span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-keyword">auto</span> node: lists) {
        <span class="hljs-keyword">if</span> (node) q.push({node-&gt;val, node});
    }
    ListNode head, *tail = &amp;head;
    <span class="hljs-keyword">while</span> (!q.empty()) {
        <span class="hljs-keyword">auto</span> f = q.top(); q.pop();
        tail-&gt;next = f.ptr; 
        tail = tail-&gt;next;
        <span class="hljs-keyword">if</span> (f.ptr-&gt;next) q.push({f.ptr-&gt;next-&gt;val, f.ptr-&gt;next});
    }
    <span class="hljs-keyword">return</span> head.next;
}

};

复杂度

时间复杂度：考虑优先队列中的元素不超过 $k$ 个，那么插入和删除的时间代价为 $O(\log k)$ ，这里最多有 $kn$ 个点，对于每个点都被插入删除各一次，故总的时间代价即渐进时间复杂度为 $O(kn \times \log k)$ 。
空间复杂度：这里用了优先队列，优先队列中的元素不超过 $k$ 个，故渐进空间复杂度为 $O(k)$ 。

leetcode题解之合并K个排序链表

原文：https://www.cnblogs.com/leetcodetijie/p/13091769.html

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