①在概率的学习中，我们应该清楚，先有事件后有概率的时间线，所有概率的研究都是基于事件来研究的；
②为什么需要学习定义事件？为什么需要学习事件的和事件与积事件？
我们学习的概率，基本都是研究随机事件的概率，因为只有随机事件的概率才是不确定的，需要我们计算的，必然事件的概率为\(1\)，不可能事件的概率为\(0\)；而随着学习的深入，所涉及的实际问题会越来越复杂，仅仅定义单个的事件\(A\)，\(B\)等等，已经远远不够刻画表达实际问题，这时候，就需要定义事件的和事件\(A+B\)与积事件\(AB\)，当然在有些问题中，你可能会看到\(A+B+C+D\)或者\(ABCD\)等更复杂的形式，这些都是为了将实际问题表达清楚的需要。
③事件关系和概率关系
正是因为先有事件后有概率的时间顺序，所以一般来说，事件的关系决定概率的关系；即用事件的关系可以推出概率关系，但是用概率关系不能反过来推事件的关系；
比如，若事件\(A\)、\(B\)是互斥的[其关系要么是题目告诉的，要么是我们自己判断的]，则\(P(A+B)=P(A)+P(B)\)；[或者\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)，此时\(P(AB)=0\)]
若事件\(A\)、\(B\)不是互斥的[其关系要么是题目告诉的，要么是我们自己判断的]，则\(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)；
若事件\(A\)、\(B\)是对立的[其关系要么是题目告诉的，要么是我们自己判断的]，则\(P(A)=1-P(B)\)；
但是其中有个特例，相互独立事件却是用概率关系定义的，若\(P(AB)=P(A)P(B)\)，则事件\(A\)、\(B\)是相互独立的；
④事件中的加号和乘号
当用加号相联得到事件\(A+B\)，并不意味着两个事件的关系就是互斥的，可能互斥，也可能不互斥，也可能相互独立；
同理，用乘号相联得到的事件\(A\cdot B\)，并不意味着两个事件的关系就是相互独立的；
分析：当事件\(A，B\)是对立事件时，必然满足\(P(A)+P(B)=1\)；但是当满足\(P(A)+P(B)=1\)时，事件\(A，B\)可以是分马牛不相及的两个事件，故不一定是对立事件，故选\(A\)。
网上解答：由于\(P(A)+P(B)=\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{3}=\cfrac{8}{15}=P(A\cup B)\)，所以\(A\)，\(B\)之间的关系为互斥事件，故选\(B\).
研讨：本题目若事件\(A\)，\(B\)同属于同一个样本空间，则由\(P(A)+P(B)=P(A\cup B)\)，可知\(A\)，\(B\)之间的关系为互斥事件，故选\(B\).
若事件\(A\)，\(B\)不是同属于同一个样本空间，则由\(P(A)+P(B)=P(A\cup B)\)，并不一定能得到\(A\)，\(B\)之间的关系为互斥事件，可能是互斥事件，也可能是相互独立事件。
分析：例说如何拆分一个复杂事件？求红队至少两名队员获胜的概率；
从正面分析，红队至少两人获胜，分以下两种情形：其一，只有两人获胜；其二，有三人获胜；
先拆分情形一：甲乙胜丙败，甲丙胜乙败，乙丙胜甲败；情形二：甲乙丙获胜；这两种情形列举的情况是并列的；
接下来，再拆分“甲乙胜丙败”，这涉及到如何刻画甲、乙、丙三人的胜利和失败，需要定义基本事件和其对立事件；
接下来考虑，如何刻画甲乙胜丙败？即“甲胜且乙胜且丙败”，需要利用积事件和相互独立事件；
接下来再分析，如何刻画“甲乙胜丙败”，“甲丙胜乙败”，“乙丙胜甲败”和“甲乙丙获胜”这四种情形？需要用到互斥事件；
到此，整个题目的要求我们就算分析清楚了，接下来求解即可。求解如下：
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
分析：设甲胜\(A\)的事件为\(D\)，乙胜\(B\)的事件为\(E\)，丙胜\(C\)的事件为\(F\)，则\(\bar{D}\)、\(\bar{E}\)、\(\bar{F}\)分别表示甲不胜\(A\)、乙不胜\(B\)、丙不胜\(C\)的事件．
因为\(P(D)＝0.6\)，\(P(E)＝0.5\)，\(P(F)＝0.5\)，由对立事件的概率公式知\(P(\bar{D})＝0.4\)，\(P(\bar{E})＝0.5\)，\(P(\bar{F})＝0.5\)，
红队至少两人获胜的事件有：\(\bar{D}EF\)，\(D\bar{E}F\)，\(DE\bar{F}\)，\(DEF\)，由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
\(P＝P(\bar{D}EF)＋P(D\bar{E}F)＋P(DE\bar{F})＋P(DEF)\)
\(=P(\bar{D})\cdot P(E)\cdot P(F)+P(D)\cdot P(\bar{E})\cdot P(F)+P(D)\cdot P(E)\cdot P(\bar{F})+P(D)\cdot P(E)\cdot P(F)\)
\(＝0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55\).
法2：间接法，先计算只有一名队员获胜，或三个队员都失败的概率，然后用对立事件求解。
\(P=1-P(D\bar{E}\bar{F})-P(\bar{D}E\bar{F})-P(\bar{D}\bar{E}F)-P(\bar{D}\bar{E}\bar{F})\)
\(=1-0.6\times 0.5\times 0.5 -0.4\times 0.5\times 0.5 -0.4\times 0.5\times 0.5 -0.4\times 0.5\times 0.5 =0.55\)
(2)用\(\xi\)表示红队队员获胜的总盘数，求\(\xi\)的分布列.
分析：由题意知\(\xi\)的可能取值为 0，1，2，3；
又由(1)知\(\bar{D}\bar{E}F\)，\(\bar{D}E\bar{F}\)，\(D\bar{E}\bar{F}\)是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立．
因此\(P(\xi＝0)＝P(\bar{D}\bar{E}\bar{F})＝0.4×0.5×0.5＝0.1\)，
\(P(\xi＝1)＝P(\bar{D}\bar{E}F)＋P(\bar{D}E\bar{F})＋P(D\bar{E}\bar{F})\)
\(＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35\).
\(P(\xi＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15\).
由对立事件的概率公式得\(P(\xi＝2)＝1－P(\xi＝0)－P(\xi＝1)－P(\xi＝3)＝0.4\).
所以\(\xi\) 的分布列为
【反思归纳】 概率计算的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决的目的。
原文：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/13097441.html