这应该是本蒟蒻的第一篇学习笔记吧。
定义
则有
不妨设集合 \(x,y,z\)，\(x,y,z\) 集合各自大小为 \(a,b,c\)（这里的集合大小是二进制下一的个数）。
我们知道，若将后面的结论带入前面的式子之后等式成立，那么这个结论是正确的。
则
仔细观察这个式子，我们发现 \(x\) 是固定的，我们转而考虑每一个 \(z\) 的情况（因为后面式子只和 \(y\) 的大小有关）。
对于每个 \(z\)，应该有 \(C(a-c,b-c)\) 种方案（\(b\) 就是枚举 \(y\) 的大小，\(C(a-c,b-c)\) 就是 \(b\) 大小的 \(y\) 的可能情况）。
令（这个设置其实是为了防止后文误解）
那么就有：
式子可以改写为：
由二项式定理得：
显然只有当 \(a=c\) 时才会取到 \(f(z)\) 的值，又因为 \(z\in x\)，所以此时 \(x=z\)，那么得出 \(t=f(x)\)。
所以结论成立。
另外记录一个有趣的小证明（这个证不了全部）。其实结论就是当 \(a-c\) 为奇数时，后面那一坨 \(f(z)\) 的系数为 \(0\)。
首先有 \(C(a-c,b-c)=C(a-c,a-c-(b-c))=C(a-c,a-b)\)。
你可以把 \(b\) 看作在区间 \([c,a]\) 中游走的点，当 \(d(a,b)=d(b,c)\) 时，\(C\) 值相等（这不是废话）。然而此时 \(-1\) 的指数的奇偶性明显不同。（实在不行可以看图）
c b b‘ a
1 2 3 4 5 6
相信自己，我先咕为敬
原文：https://www.cnblogs.com/AWhiteWall/p/13121993.html