定义
功率谱是功率谱密度函数的简称，它定义为单位频带内的信号功率。一定程度上，功率谱可以理解为幅度频谱的平方\(│Xn│^2\)所排成的序列。
帕塞瓦尔定理
对于能量信号\(g(t)\)，有
\[\int_{-\infty}^{\infty}|g(t)|^{2} d t=\int_{-\infty}^{\infty}|G(f)|^{2} d f
\]
功率信号与功率谱
对于功率信号，因为其能量为无穷大，我们考虑它的平均功率。
\[P_{g}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty} g_{T}^{2}(t) d t
\]
由帕塞瓦尔定理，有
\[P_g=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty}\left|G_{T}(f)\right|^{2} d f =\int_{-\infty}^{\infty}\left[\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{\left|G_{T}(f)\right|^{2}}{T}\right] d f
\]
从中，我们定义功率谱密度：
\[P_{g}(f)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{\left|G_{T}(f)\right|^{2}}{T}(\mathrm{W} / \mathrm{Hz})
\]
信号越长，则谱估计越准。实际中，频率为正，对应的是单边功率谱。单边功率谱在数值上是双边功率谱的一半。
相关函数
对确定信号\(f_1(t)\)和\(f_2(t)\)，我们定义相关函数为：
\[\mathscr{F}[R_{12}(\tau)]=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(t)f_2^*(t-\tau)dt
\]
相关定理
若已知
\[\mathscr{F}[f_1(t)] = F_1(w)
\]
\[\mathscr{F}[f_2(t)] = F_2(w)
\]
则
\[\mathscr{F}[R_{12}(\tau)] = F_1(w) \cdot F_2^*(w)
\]
相关定理的证明如下：
维纳-辛钦(Wiener-Khintchine)公式
功率谱和自相关函数是一对傅里叶变换对。
\[R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} P(w) e^{j w \tau} d \omega
\]
\[P(w) =\int_{-\infty}^{\infty}R(\tau)e^{-jw\tau}d\tau=\int_{-\infty}^{\infty}
\]
这一定理可通过功率谱、自相关函数的定理和相关定理证明。
周期图
周期图：19世纪末，Schuster提出用傅立叶级数的幅度平方作为函数中功率的度量，并将其命名为“周期图”（periodogram）。
功率谱估计
见《数字信号处理——理论、算法与实现》P498
功率谱相关知识总结
原文：https://www.cnblogs.com/zxlzxl/p/13173713.html
