高等数学（1） —— 极限

Beneath this mask there is more than flesh. Beneath this mask there is an idea. And ideas are bulletproof.
在这面具之下的不是血肉之躯，而是刀枪不入的理念。

高等数学（1） —— 极限

我只想计算，我不想知道极限的奥妙。
每次重看笔记，也会经常发现自己当初的理解过于简单，
或者也会经常发现笔记也是理解错了。
精力有限，高数（上）更的稍慢。

1. 数列的极限

1.1 数列极限的定义

官方定义见课本

数列极限： 当数列的n足够大，且不管它如何增大而只是永远地在逼近于一个常数，则该常数就是这个数列的极限，或者可以说，这个数列收敛于这个常数。
有句话怎么说来着？不管你先前怎么牛逼怎么努力，你大爷终究还是你大爷。

1.2 数列极限的性质

极限唯一： 一个数列只认一个极限。

收敛数列的有界性： 遇到大佬就该收手，一个大佬收手肯定是遇到了更强的逼王。
（皮一下）

收敛数列的保号性： 当数列逼近极限时，数列值的符号不会和极限的符号不同。

2. 函数的极限

2.1 函数极限的定义

官方定义见课本

函数极限： 当自变量无限逼近于一个数时，函数值也在无限接近于某一常数，则该常数就是此处的极限。

不关心准确的定义，只想关心怎么复习。

证明极限是常数a：

1. 设一个很小的数
2. 说明不管这个数再怎么小，总是大于|f(x) - a|

柯西极限存在准则。

2.2 函数极限的性质

函数极限的唯一性：只要某一处极限存在，则其唯一。

极限的局部有界性： 在该点的邻域内的函数值绝对值总是不会大于某一正数。

函数极限局部保号性： 可以用有界性理解。

3. 无穷小和无穷大

3.1 无穷小

无穷小： 无限接近于零。

• 只要某一常数不是无穷大，其乘以无穷小结果必定为无穷小。
• 无穷小乘无穷小只会还是无穷小。

3.2 无穷大

无穷大： 没有比它更大的值。
无穷大的倒数是无穷小，不是0。（你觉得是也行，不影响计算）

注意： 求极限时，无穷小和无穷小同时多为不定式，要利用其中的关系判断或转化。

4. 极限存在准则和两个重要极限。

1. 夹逼准则： 小于某一函数的极限和大于该函数的极限相等，则也会相等于该函数的极限。

下面这个重要极限，常用，

2. 单调有界函数必有极限。 （柯西极限存在准则，这个常用于证明极限存在）

下面这个重要极限，常用，

一的无穷大是e。