一个数在计算机中的二进制表示形式，叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机中用一个数的最高位存放符号，正数为0、负数为1。
比如，十进制中的数 +3 ，若计算机字长为 8 位，则转换成二进制就是 00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。
因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例：0000 0001 的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001 的真值 = -000 0001 = -1
原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值，比如8位二进制：
[+1]原码 = 0000 0001
[-1]原码 = 1000 0001
因为第一位是符号位，所以8位二进制数的取值范围就是：[1111 1111 , 0111 1111]，即：[-127 , 127] 。
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。
反码的表示方法是：正数的反码是其本身；而负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。
[+1] = [00000001] 原 = [00000001] 反
[-1] = [10000001] 原 = [11111110] 反
可见如果一个反码表示的是负数，人脑无法直观的看出来它的数值，通常要将其转换成原码再计算。
补码的表示方法是：正数的补码就是其本身；负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1（即在反码的基础上+1）。
[+1] = [00000001] 原 = [00000001] 反 = [00000001] 补
[-1] = [10000001] 原 = [11111110] 反 = [11111111] 补
对于负数，补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的。通常也需要转换成原码在计算其数值。
现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数。对于正数，三种编码方式的结果都相同。例：
[+1] = [00000001] 原 = [00000001] 反 = [00000001] 补
而对于负数，其原码，反码和补码则都不相同。例：
[-1] = [10000001] 原 = [11111110] 反 = [11111111] 补
既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式，为何还会有反码和补码呢？
首先，因为人脑可以知道第一位是符号位，在计算的时候我们会根据符号位，选择对真值区域的加减（真值的概念在本文最开头）。但是对于计算机，加减乘除已经是最基础的运算，要设计得尽量简单。要辨别”符号位”显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂，于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。根据运算法则，减去一个正数等于加上一个负数，即： 1-1 = 1 + (-1) = 0 ，所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了。
于是人们开始探索将符号位参与运算，并且只保留加法的方法。以下以十进制计算表达式 1 - 1 = 0 为例。
首先来看原码：
1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001] 原 + [10000001] 原 = [10000010] 原 = - 2
如果用原码表示，让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。
为了解决原码做减法的问题，出现了反码：
1 - 1 = 1 + (-1)
= [0000 0001] 原 + [1000 0001] 原
= [0000 0001] 反 + [1111 1110] 反
= [1111 1111] 反
= [1000 0000] 把最终的反码结果转换回原码
= -0
发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的。而唯一的问题其实就出现在“0”这个特殊的数值上。虽然人们理解上 +0 和 -0 是一样的，但是 0 带符号是没有任何意义的。而且会有 [0000 0000]原 和 [1000 0000]原 两个编码表示 0。
于是补码的出现，解决了0的符号以及两个编码的问题：
1 - 1 = 1 + (-1)
= [0000 0001] 原 + [1000 0001] 原
= [0000 0001] 补 + [1111 1111] 补
= [0000 0000] 补
= [0000 0000] 原
这样 0 用 [0000 0000] 表示，而以前出现问题的 -0 则不存在了。
使用补码，不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数。
(-1) + (-127)
= [1000 0001] 原 + [1111 1111] 原
= [1111 1111] 补 + [1000 0001] 补
= [1000 0000] 补
-1 - 127 的结果应该是 -128，在用补码运算的结果中，[1000 0000]补 就是-128。但是注意因为实际上是使用以前的 -0 的补码来表示 -128，所以 -128 并没有原码和反码表示（对-128的补码表示 [1000 0000]补 算出来的原码是 [0000 0000]原，这是不正确的）。
这就是为什么8位二进制，使用原码或反码表示的范围为 [-127, +127]，而使用补码表示的范围是 [-128, 127]。
因为机器使用补码，所以对于编程中常用到的32位int类型，可以表示范围是 [-2^31，2^31-1]，因为第一位表示的是符号位，使用补码表示时又可以多保存一个最小值。
原文：https://www.cnblogs.com/juno3550/p/13199737.html