LeetCode53：最大子序和

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
进阶:

如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。

O(n)的方法就是遍历，然后一直记录直到上一个位置的最大值，记录为last。如果last小于0就清零，然后再加上当前位置的值，最后与best进行比较。

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int maxSubArray(vector<int>& nums) {
 4         int last=0,best=INT_MIN;
 5         for(int i=0;i<nums.size();i++){
 6             if(last<0)
 7                 last=0;
 8             last+=nums[i];
 9             best=last>best?last:best;
10         }
11         return best;
12     }
13 };

还有就是分治法，非常巧妙，可以在logn时间内解决问题，这里贴一下LeetCode的解析。

这个分治方法类似于「线段树求解 LCIS 问题」的 pushUp 操作。 也许读者还没有接触过线段树，没有关系，方法二的内容假设你没有任何线段树的基础。当然，如果读者有兴趣的话，推荐看一看线段树区间合并法解决 多次询问 的「区间最长连续上升序列问题」和「区间最大子段和问题」，还是非常有趣的。

我们定义一个操作 get(a, l, r) 表示查询 aa 序列 [l, r][l,r] 区间内的最大子段和，那么最终我们要求的答案就是 get(nums, 0, nums.size() - 1)。如何分治实现这个操作呢？对于一个区间 [l, r][l,r]，我们取 m = \lfloor \frac{l + r}{2} \rfloorm=⌊
2
l+r
?
⌋，对区间 [l, m][l,m] 和 [m + 1, r][m+1,r] 分治求解。当递归逐层深入直到区间长度缩小为 11 的时候，递归「开始回升」。这个时候我们考虑如何通过 [l, m][l,m] 区间的信息和 [m + 1, r][m+1,r] 区间的信息合并成区间 [l, r][l,r] 的信息。最关键的两个问题是：

我们要维护区间的哪些信息呢？
我们如何合并这些信息呢？
对于一个区间 [l, r][l,r]，我们可以维护四个量：

lSum 表示 [l, r][l,r] 内以 ll 为左端点的最大子段和
rSum 表示 [l, r][l,r] 内以 rr 为右端点的最大子段和
mSum 表示 [l, r][l,r] 内的最大子段和
iSum 表示 [l, r][l,r] 的区间和
以下简称 [l, m][l,m] 为 [l, r][l,r] 的「左子区间」，[m + 1, r][m+1,r] 为 [l, r][l,r] 的「右子区间」。我们考虑如何维护这些量呢（如何通过左右子区间的信息合并得到 [l, r][l,r] 的信息）？对于长度为 11 的区间 [i, i][i,i]，四个量的值都和 a_ia
i
?
相等。对于长度大于 11 的区间：

首先最好维护的是 iSum，区间 [l, r][l,r] 的 iSum 就等于「左子区间」的 iSum 加上「右子区间」的 iSum。
对于 [l, r][l,r] 的 lSum，存在两种可能，它要么等于「左子区间」的 lSum，要么等于「左子区间」的 iSum 加上「右子区间」的 lSum，二者取大。
对于 [l, r][l,r] 的 rSum，同理，它要么等于「右子区间」的 rSum，要么等于「右子区间」的 iSum 加上「左子区间」的 rSum，二者取大。
当计算好上面的三个量之后，就很好计算 [l, r][l,r] 的 mSum 了。我们可以考虑 [l, r][l,r] 的 mSum 对应的区间是否跨越 mm——它可能不跨越 mm，也就是说 [l, r][l,r] 的 mSum 可能是「左子区间」的 mSum 和 「右子区间」的 mSum 中的一个；它也可能跨越 mm，可能是「左子区间」的 rSum 和 「右子区间」的 lSum 求和。三者取大。
这样问题就得到了解决。

 1 class Solution {
 2 public:
 3     struct Status {
 4         int lSum, rSum, mSum, iSum;
 5     };
 6 
 7     Status pushUp(Status l, Status r) {
 8         int iSum = l.iSum + r.iSum;
 9         int lSum = max(l.lSum, l.iSum + r.lSum);
10         int rSum = max(r.rSum, r.iSum + l.rSum);
11         int mSum = max(max(l.mSum, r.mSum), l.rSum + r.lSum);
12         return (Status) {lSum, rSum, mSum, iSum};
13     };
14 
15     Status get(vector<int> &a, int l, int r) {
16         if (l == r) return (Status) {a[l], a[l], a[l], a[l]};
17         int m = (l + r) >> 1;
18         Status lSub = get(a, l, m);
19         Status rSub = get(a, m + 1, r);
20         return pushUp(lSub, rSub);
21     }
22 
23     int maxSubArray(vector<int>& nums) {
24         return get(nums, 0, nums.size() - 1).mSum;
25     }
26 };
27 
28 作者：LeetCode-Solution
29 链接：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/solution/zui-da-zi-xu-he-by-leetcode-solution/
30 来源：力扣（LeetCode）
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LeetCode53：最大子序和

原文：https://www.cnblogs.com/rookiez/p/13210446.html