快问快答环节
距离公式
\[\begin{aligned}
|Z_1Z_2|&=|z_1-z_2|^2\&=(z_1-z_2)(z_1-z_2)^{*}\&=(z_1-z_2)(\bar{z_1}-\bar{z_2})\&=|z_1|^2+|z_2|^2-(z_1\bar{z_2}+\bar{z_1}z_2)\&=z_1\bar{z_1}+z_2\bar{z_2}-(z_1\bar{z_2}+\bar{z_1}z_2)
\end{aligned}
\]
四点共圆公式
\[\begin{vmatrix}
1 & a &\bar{a} &a\bar{a} \1 & b &\bar{b} &b\bar{b} \1 & c &\bar{c} &c\bar{c} \1 & d &\bar{d} &d\bar{d} \\end{vmatrix}=0
\]
是复平面上的复数\(a,b,c,d\)代表的四点共圆的充要条件
证明：托勒密公式，把距离公式变形一下，最后整理一下
三角形面积公式（有向面积）
\[S_{\Delta ABC}=
\frac{i}{4}
\begin{vmatrix}
1 & z_1 & \bar{z_1} \1 & z_2 & \bar{z_2} \1 & z_3 & \bar{z_3}
\end{vmatrix}
\]
证明：抄课本里的，
\[\begin{aligned}
S_{\Delta ABC}
&=\frac{1}{2}Z_1Z_2\cdot Z_1Z_3\cdot sin\angle Z_2Z_1Z_3\&=\frac{1}{2}|z_1-z_2|\cdot |z_2-z_3|\cdot Im\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}\cdot |\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}| \&=\frac{1}{2}Im(\bar{z_1}z_2+\bar{z_2}z_3+\bar{z_3}z_1)\&=\frac{i}{4}
\begin{vmatrix}
1 & z_1 & \bar{z_1} \1 & z_2 & \bar{z_2} \1 & z_3 & \bar{z_3}
\end{vmatrix}
\end{aligned}
\]
三点共线
\[\begin{vmatrix}
1 & z_1 & \bar{z_1} \ 1 & z_2 & \bar{z_2} \ 1 & z_3 & \bar{z_3}
\end{vmatrix}=0
\]
垂直线公式
经过\(\omega\)且与\(O\alpha\)垂直的直线方程
\[\frac{z}{\alpha}+\frac{\bar{z}}{\bar{\alpha}}=\frac{\omega}{\alpha}+\frac{\bar{\omega}}{\bar{\alpha}}
\]
复数与向量的应用——罗列一些公式
原文：https://www.cnblogs.com/yhm138/p/13286977.html
