二阶泰勒公式

用多个变量的一个多项式来近似表达一个给定的多元函数，并能具体的估算出误差的大小。

定义：函数 $f(x,y)$ 在含 $(x_{0},y_{0})$ 的某一邻域内连续且有直到 $n+1$ 阶的连续偏导数，$(x_{0} + h, y_{0} + k)$ 为此邻域内一点，则有

$$f(x_{0} + h,y_{0} + k) = f(x_{0},y_{0}) + \frac{h\cdot \frac{\partial }{\partial x} + k\cdot \frac{\partial }{\partial y}}{1!}f(x_{0},y_{0}) + \frac{\left ( h\cdot \frac{\partial }{\partial x} + k\cdot \frac{\partial }{\partial y} \right )^{2}}{2!}f(x_{0},y_{0}) +...+ \frac{\left ( h\cdot \frac{\partial }{\partial x} + k\cdot \frac{\partial }{\partial y} \right )^{n}}{n!}f(x_{0},y_{0}) + R_{n} \\
R_{n} = \frac{\left ( h\cdot \frac{\partial }{\partial x} + k\cdot \frac{\partial }{\partial y} \right )^{n+1}}{(n+1)!}f(x_{0} + \theta h,y_{0} + \theta k),0 < \theta < 1$$

某个开区间 $(a,b)$ 内具有直到 $n + 1$ 阶导数，则对任意的 $x \in (a,b)$ 有

未完待续。。。。。。

二阶泰勒公式

原文：https://www.cnblogs.com/yanghh/p/13380119.html