莫某某的反演（alpha）

莫某某的反演似乎有很多形式， 但不用太在意， 多关注常用的就行了。
莫某某的反演可以直接用容斥证明， 但有一种 “证明方法” 更易令人信服（并记住）， 下面会介绍这种 “证明方法”。

数论函数及其加减数乘运算

即定义域为正整数的函数。
简单的例子：
\(\epsilon(n) = [n=1]\)
\(\text{1}(n) = 1\)
\(\text{id}_k(n) = n^k\)
\(\sigma_k(n) = \sum_{d|n} d^k\)

加减法
\((\text{f} \pm\text{g})(n) = \text{f}(n) \pm \text{g}(n)\)
数乘
\(k\) 为整数， \((x\text{f})(n) = x · \text{f}(n)\)

数论函数的狄利克雷卷积运算及其性质

定义两个数论函数的 狄利克雷卷积 运算（二元算符 \(*\)）如下：
若 \(\text{h} = \text{f} * \text{g}\)， 则：

数论函数的狄利克雷卷积运算满足 交换律、结合律和对加法的分配律， 可以自己验证一下。
（用狄利克雷卷积的另一种写法 \((\text{f}*\text{g})(n) = \sum_{ij=n} \text{f}(i)\text{g}(j)\) 会更容易验证）

幺元（单位元）
狄利克雷卷积的幺元为 \(\epsilon(n) = [n=1]\)， 即对任意数论函数 \(\text{t}\) 有 \(\text{t} * \epsilon = \text{t}\)。

逆元
对于每个 \(\text{f}(1) \neq 0\) 的数论函数 \(\text{f}\)， 都存在一个函数 \(\text{g}\) 使得 \(\text{f} * \text{g} = \epsilon\) 。

数论函数求逆（\(\text{f}(1) \neq 0\)）

积性函数及其性质

满足 \(m \bot n\) 时 \(\text f(nm) = \text f (n) \text f (m)\) 的数论函数 \(\text f\) 称为 积性函数, 若无需满足 \(m \bot n\) 就有 \(\text f(nm) = \text f (n) \text f (m)\)， 那么 \(\text f\) 被称为完全积性函数。

完全积性函数的例子：
\(\epsilon(n) = [n=1]\)
\(\text{id}_k(n) = n^k\)
\(\text 1(n) = 1\)

积性函数的例子：
\(\sigma_k(n) = \sum_{d|n} d^k\)
\(\varphi(n) = \sum_{i=1}^{n-1} [i \bot n]\)

性质1：两个积性函数的狄利克雷卷积仍然是积性函数

性质2：积性函数的逆是积性函数
证明以后再说吧。

莫比乌斯反演

\(\mu * \text 1 = \epsilon\)， 故

还有另一方向上的莫比乌斯反演， 在这不述。

什么是 \(\mu\)？

由于 \(\text 1\) 是积性函数， 所以作为其逆的 \(\mu\) 也是积性函数， 那么从参数 \(p^k \;\;(p \in \{prime\}, k \ge 0)\) 开始：

\((\text 1 * \mu)(1) = \mu(1) = [1=1] = 1\)， 故 \(\mu(1) = 1\) 。
\((\text 1 * \mu)(p^1) = \mu(1) + \mu(p^1) = [p^1 = 1] = 0\)， 故 \(\mu(p_1) = -1\) 。
依着这个思路， 可得 \(\mu(p^2) = 0\)， 再用归纳法就可得 \(\mu(p^k) = 0 \;\;(k>1)\)。

所以， 对于一般的 \(n \in N_+\)，

通过例题学习技巧（待补）

莫某某的反演（alpha）

原文：https://www.cnblogs.com/tztqwq/p/13460285.html