线性变换的矩阵表示

千里之行始于足下，重视基础才是本质。 在矩阵论中提到的线性变换是一个相对抽象的概念，先给出相关定义

定义： 设V是数域K上的线性空间，T是V到自身的一个映射，使对任意向量$x\in V$，V中都有唯一的向量y与之对应，则称T是V的一个变换或者算子，记$Tx=y$，称y为x在T下的象，而x是y的原象（象源）

这个T类似于数学分析中的函数$y=f(x)$，不过那里是数量函数，这里是向量函数。如果变换T满足一定的线性变换要求$T(kx+ly)=kT(x)+lk(y)$，则T为V的一个线性变换。 概念类比到数量函数，线性变换T的也是很好理解的。但是在具体计算过程中，我们怎么把抽象的概念具体化？这就涉及到线性变换的矩阵表示。从定义入手的话，如果需要确定线性变换T，则需要找到V中所有向量在T下的象。事实上不需要这么麻烦的。V中所有向量都可以由V的基向量组$(x_1,x_2,……,x_n)$线性表示，加上T是V的线性变换，则V中所有象都可以由基象组(Tx_1,Tx_2,……,Tx_n)线性表示。

设T是线性空间$V^{n$的线性变换，\(x\in V^n\),且$x_1, x_2, ……,x_n$是$V}n$的一个基，则 \(x=a_1x_1+a_2x_2+……+a_nx_n\) \(Tx=a_1(Tx_1)+a_2(Tx_2)+……+a_nT(x_n)\) 令

\begin T(x_1,x_2,……,x_n)=(x_1,x_2,……,x_n)A T(y_1,y_2,……,y_n)=(y_1,y_2,……,y_n)B \end$$ 解决思路无外乎两种：1、分别计算，简单粗暴；2、如果容易得到矩阵A，则可以通过基向量组之间的联系建立起A和B的关系。比如已知矩阵A和$(y_1,y_2,……,y_n)=(x_1,x_2,……,x_n)C$，则$T(y_1,y_2,……,y_n)=T(x_1,x_2,……,x_n)C=(x_1,x_2,……,x_n)AC=(y_1,y_2,……,y_n)B=(x_1,x_2,……,x_n)CB$，也就是$B=C^{-1}AC$。

线性变换的矩阵表示

原文：https://www.cnblogs.com/LiYimingRoom/p/13472913.html