两个周期函数的和不是周期函数

(分析中的反例)两个周期函数,它们的和不是周期函数.

证. $\sin x$和$\sin \alpha x$在$(-\infty,+\infty)$上均是周期函数,其中$\alpha$为无理数.但$\sin x+\sin \alpha x$不是周期函数.

假设$\sin x+\sin \alpha x$是具有非零周期$T$的周期函数,则
$$
\sin \left( x+T \right) +\sin \alpha \left( x+T \right) =\sin x+\sin \alpha x,
$$
故
$$
2\cos \left( x+\frac{T}{2} \right) \sin \frac{T}{2}=-2\cos \left( \alpha x+\frac{\alpha T}{2} \right) \sin \frac{\alpha T}{2}.
$$

取$x=\frac{\pi}{2}$,则$\sin \frac{\alpha T}{2}=0$,则$\alpha T=2p\pi$;取$\alpha x=\frac{\pi} {2}$,则$\sin \frac{T}{2}=0$,则$T=2q\pi$,其中$p,q$都是非零整数.故$\alpha T=2p\pi=\alpha\cdot 2q\pi$,即$\alpha=\frac{p}{q}$,这与$\alpha$是无理数矛盾.

两个周期函数的和不是周期函数

原文：https://www.cnblogs.com/Eufisky/p/13522422.html