2020年全国卷Ⅱ卷文科数学解答题解析版

解答题

【2020年全国卷Ⅱ卷文科数学第17题】\(\triangle ABC\)的内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，已知\(\cos^{2}(\cfrac{\pi}{2}+A)\)\(+\)\(\cos A\)\(=\)\(\cfrac{5}{4}\)；

(1).求\(A\);

解：由己知\(\sin^{2}A+\cos A=\cfrac{5}{4}\)，即\(\cos^{2}A-\cos A+\cfrac{1}{4}=0\)

所以\((\cos B-\cfrac{1}{2})^2=0\)，即\(\cos A=\cfrac{1}{2}\)，

又由于\(0<A<\pi\)，故\(A=\cfrac{\pi}{3}\);

(2).若\(b-c=\cfrac{\sqrt{3}}{3}a\)，证明:\(\triangle ABC\)是直角三角形此处既可以考虑用角来证明，由题意\(b\)\(-\)\(c\)\(=\)\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}a\)\(>0\)可知，最大角必然是\(B\)，即\(B=90^{\circ}\)；也可以考虑用边的关系来证明，即证明\(b^2=a^2+c^2\)。\(\;\;\)。

法1: 从角的角度入手分析，证明\(B=90^{\circ}\)或\(B=30^{\circ}+60^{\circ}\)等；

由(1)知，\(B+C=\cfrac{2\pi}{3}\)，则\(C=\cfrac{2\pi}{3}-B\)，

将\(b-c=\cfrac{\sqrt{3}}{3}a\)，边化角相比较而言，转化为角的关系，简单清晰，难度是三角变换和解三角形方程。 ，

得到\(\sin B-\sin C=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\sin A\)，

\(\sin B-\sin(\cfrac{2\pi}{3}-B)=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\sin \cfrac{\pi}{3}\)，

即\(\sin B-(\sin\cfrac{2\pi}{3}\cdot \cos B-\cos\cfrac{2\pi}{3}\cdot \sin B)=\cfrac{1}{2}\)，提醒此处的三角变换极容易出错，切记，切记，平时多练习。

即\(\sin B-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cos B-\cfrac{1}{2}\sin B=\cfrac{1}{2}\)

即\(\cfrac{1}{2}\sin B-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cos B=\cfrac{1}{2}\)，

即\(\sin(B-\cfrac{\pi}{3})=\cfrac{1}{2}\)，又由于\(-\cfrac{\pi}{3}<B-\cfrac{\pi}{3}<\cfrac{2\pi}{3}\)，

故\(B-\cfrac{\pi}{3}=\cfrac{\pi}{6}\)，即\(B=\cfrac{\pi}{2}\)，

故\(\triangle ABC\)是直角三角形.

法2：从边的角度入手分析，证明\(b^2=a^2+c^2\)；

由于\(A=\cfrac{\pi}{3}\)，\(b-c=\cfrac{\sqrt{3}}{3}a>0\)，故\(B\)为最大角，即\(b>c\)；

故以下的证明朝\(b^2=a^2+c^2\)方向努力，

由余弦定理得到，\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=b^2+c^2-bc\)①；

由\(b-c=\cfrac{\sqrt{3}}{3}a\)得到，\(b^2+c^2-2bc=\cfrac{a^2}{3}\)②；

即\(3b^2+3c^2-6bc=a^2\)③；联立①③得到，

\(2b^2+2c^2-5bc=0\)，即\(2b^2-5bc+2c^2=0\)，即\((b-2c)(2b-c)=0\)，

解得\(b=2c\)或\(2b=c\)(舍去)，将\(b=2c\)代入\(b-c=\cfrac{\sqrt{3}}{3}a\)，

得到\(c=\cfrac{\sqrt{3}}{3}a\)，即\(a=\sqrt{3}c\)，

故\(c^2+a^2=c^2+3c^2=4c^2=(2c)^2=b^2\)，故\(\triangle ABC\)是直角三角形.

2020年全国卷Ⅱ卷文科数学解答题解析版

原文：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/13605479.html