之前我们学习了很多长方矩阵的知识，现在我们将把注意力转向方阵，探讨行列式和特征值。
行列式的性质
方阵的行列式记为 \(det A=|A|\) 。
我们从行列式的三个性质开始,慢慢引出她的定义。
- 单位矩阵的行列式值为1，即 \(detI=1\)
- 交换矩阵的行，行列式的值的符号相反
由前两个性质可以推出，置换矩阵的行列式：
\[\text{detP}=
\begin{array}{cc}
\{ &
\begin{array}{cc}
1 & \text{even} \ -1 & \text{odd} \\end{array}
\\end{array}
\]
置换矩阵是行交换的单位阵，当单位阵交换次数为偶数（不变）时，置换矩阵的行列式为1，当单位阵交换的次数为奇数时，置换矩阵的行列式为-1
以 \(2*2\) 矩阵为例
\[\left|
\begin{array}{cc}
1 & 0 \ 0 & 1 \\end{array}
\right|=1
\]
\[\left|
\begin{array}{cc}
0 & 1 \1 & 0 \\end{array}
\right|=-1
\]
一般 \(2*2\) 的行列式，值为 \(ad-bc\) 。
\[\left|
\begin{array}{cc}
a & b \c & d \\end{array}
\right|=ad-bc
\]
性质3分为3a和3b
-
a.保持其余 \(n-1\) 行不变，用数 \(t\) 乘以一行，\(t\) 可以提取出来
\[\left|
\begin{array}{cc}
ta & tb \c & d \\end{array}
\right|=
t\left|
\begin{array}{cc}
a & b \c & d \\end{array}
\right|
\]
-
b.保持其余 \(n-1\) 行不变
\[\left|
\begin{array}{cc}
a+a^{‘} & b+b^{‘} \c & d \\end{array}
\right|=
\left|
\begin{array}{cc}
a & b \c & d \\end{array}
\right|+
\left|
\begin{array}{cc}
a^{‘} & b^{‘} \c & d \\end{array}
\right|
\]
这两个性质是关于线性组合的，只改变一行，其余行不变。性质3同样使用在第 \(n\) 行。
注意，性质3说的是某一行的线性组合，她只能和自己线性组合，而不是与其余行或者所有行的线性组合。所以
\[det(A+B)≠detA+detB
\]
从这三个性质，我们可以得到更多的性质。
- 如果两行相等，行列式为0
\[\left|
\begin{array}{cc}
a & b \ a & b \\end{array}
\right|=0
\]
性质4在 \(n*n\) 矩阵里面也适用。
比如在 \(7*7\) 矩阵中，两行相等，行列式为0。因为根据性质2，交换两行（交换一次），行列式取反；又因为两行相等，交换后仍然是同一个矩阵，没变，所以只有行列式为0满足条件。
- 从行\(k\) 减去行 \(x\) 的 \(i\) 倍（消元），行列式不变。
在消元法中，矩阵\(A\) 的行列式等于矩阵 \(U\) 的行列式，即 \(detA=detU\)
证明，由性质3b我们可以对组合进行拆分
\[\left|
\begin{array}{cc}
a & b \ c-ia & d-ib \\end{array}
\right|=
\left|
\begin{array}{cc}
a & b \ c & d\\end{array}
\right|+
\left|
\begin{array}{cc}
a & b \ -ia & -ib \\end{array}
\right|=
\left|
\begin{array}{cc}
a & b \ c & d\\end{array}
\right|+0
\]
- 若有一行为0，那么矩阵的行列式为0
可以用3a证明
\[\left|
\begin{array}{cc}
0*a & 0*b \ c & d \\end{array}
\right|=
0\left|
\begin{array}{cc}
a & b \ c & d \\end{array}
\right|=
\left|
\begin{array}{cc}
0 & 0 \ c & d \\end{array}
\right|=0
\]
- 上三角矩阵的行列式等于对角线上元素的乘积，即主元的乘积
\[|U|=\left|
\begin{array}{cccc}
d_1 & \square & \square & \square \ 0 & d_2 & \square & \square \ ... & ... & ... & \square \ 0 & 0 & 0 & d_n \\end{array}
\right|=
d_1*d_2*...*d_n
\]
我们可以通过消元得到上三角矩阵，主元的乘积就是行列式，在消元过程中如果需要换行，则需要在前面加上符号。
证明：
根据性质5，消元后行列式不变，所以我们通过消元将 \(U\) 化简为 对角矩阵
\[D=\left(
\begin{array}{cccc}
d_1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & d_2 & 0 & 0 \ ... & ... & ... & ... \ 0 & 0 & 0 & d_n \\end{array}
\right)
\]
计算行列式，利用性质3a，可以将每列主元提取出来,又根据性质1，单位阵行列式为1.可得
\[|D|=(d_n*...*d_2*d_1)\left|
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ ... & ... & ... & ... \ 0 & 0 & 0 & 1 \\end{array}
\right|=
d_1*d_2*...*d_n
\]
如果需要换行，还需要在结果加上对应的正负号。
如果某主元为0，我们将得到全零行，利用性质6，行列式为0。
- 当且仅当 \(A\) 是奇异矩阵时，\(det A=0\)；当且仅当 \(A\) 可逆，\(detA≠0\).
如果 \(A\) 是奇异矩阵，通过消元法化简为上三角矩阵后，会得到全零行，行列式为0，也可以说，矩阵不可逆就是奇异矩阵，行列式为0。如果 \(A\) 可逆，主元都不为0，行列式等于主元相乘。
- 矩阵乘积的行列式等于各自行列式的乘积，即
\[det(AB)=(detA)*(detB)
\]
需要说明的是，她们不具有线性性质，\(det(A+B)≠(detA)+(detB)\)
例子1：
求 \(A^{-1}\) 的行列式
我们知道
\[A^{-1}A=I
\]
两边同时取行列式，利用性质9分开
\[(detA^{-1})*(detA)=1
\]
所以
\[detA^{-1}=1/detA
\]
利用性质9，我们还可以知道
\[detA^{2}=(detA)*(detA)
\]
假设在\(n*n\) 矩阵,如果将矩阵 \(A\) 乘以2，她的行列式为
\[det(2A)=2^{n} detA
\]
因为我们消元后可以提取出每一行的公因子2，所以有 \(n\) 个2.
- 对于\(A\) 转置的行列式，等于 \(A\) 的行列式，即
\[detA^{T}=detA
\]
转置不会改变行列式的值。
在\(2*2\) 矩阵中我们可以验证这一点
\[\left|
\begin{array}{cc}
a & b \ c & d \\end{array}
\right|=
\left|
\begin{array}{cc}
a & c \ b & d \\end{array}
\right|=ad-bc
\]
转置交换了行向量和列向量，根据这点，我们可以引出 全零列 的概念。所有行的性质在列上同样适用。
如果存在全零列，行列式为0。
交换两列也会改变行列式的符号。
根据性质10，行和列的性质是一样的。
证明：
\[\begin {align}
&|A^T| = |A|\消元\rightarrow &|U^TL^T|=|LU|\性质9\rightarrow &|U^T||L^T|=|L||U|\\end {align}
\]
根据性质7，三角矩阵的行列式都等于对角线上元素相乘，\(L、L^T\) 是对角线上都是1的三角矩阵， 所以 \(|L|=|L^T|=1\) ，\(|U|=|U^T|=d_1*d_2*...*d_n\) 。所以等式两边相等，证毕。
证明的关键在于把矩阵化简为三角矩阵，再化简为对角阵。
线性代数18.行列式的性质
原文：https://www.cnblogs.com/ckk-blog/p/13696709.html
