\(设f(x)为[a,b]上\)有界函数\(在[a,b]上任意插入n-1个分点，a=x_0<x_1<...<x_{n-1}<x_n=b，记\Delta x_i=x_i-x_{i-1}，\lambda=max{ \Delta x_i }，在每个小区间上任取一点\xi_i，作和式\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i。若不论对[a,b]怎样分割，也不论每个小区间[x_{i-1},x_i]上的\xi_i怎么选取，在\lambda \to 0时和式总存在且趋于同一个值I，就称f(x)在[a,b]上可积，I为f(x)在[a,b]上的定积分\)
PS：对区间进行等分时，\(n \to \infty\)和\(\lambda \to 0\)等价。随意划分条件下前者无法推出后者。
导出一个定积分的计算方法：计算面积代数和
\(如果f(x)在[a,b]上连续，或者在[a,b]上有界且仅有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积\)
\(如果f(x)在[a,b]上可积，[c,d]\subset[a,b]，则f(x)在[a,b]上可积\)
1.狄利克雷函数在[0,1]上不可积。
2.教科书P181 例5.1.4
利用定义计算积分可以指定\(\xi_i\)为左（右）端点
1.线性性
\(\int_a^b{[k_1f(x)+k_2g(x)]}dx=k_1\int_a^b{f(x)}dx+k_2\int_a^b{g(x)}dx\)
2.依区间可加性
\(\int_a^b{f(x)}dx=\int_a^c{f(x)}dx+\int_c^b{f(x)}dx\)
3.几何度量性
\(\int_a^b dx=b-a\)
4.保号性
\(如果在[a,b]上f(x) \geq 0，则\int_a^b{f(x)}dx \geq 0\)
5.保序性
\(如果在[a,b]上f(x) \geq g(x)，则\int_a^b{f(x)}dx \geq \int_a^b{g(x)}dx\)
6.积分绝对值不等式
\(|\int_a^b{f(x)}dx| \leq \int_a^b{|f(x)|}dx\)
7.估值定理
\(m(b-a) \leq \int_a^b{f(x)}dx \leq M(b-a)，m，M为最小值和最大值\)
8.积分第一中值定理
\(如果f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点\xi \in [a,b]，使得\int_a^b{f(x)}dx=f(\xi)(b-a)\)
9.积分第二中值定理
\(如果f(x)，g(x)在[a,b]上连续，g(x) \geq 0，则至少存在一点\xi \in [a,b]，使得\int_a^b{f(x)g(x)}dx=f(\xi)\int_a^b{g(x)}dx\)
10.积分正则性1
\(如果f(x)在[a,b]上非负连续，且不恒为0，则\int_a^b{f(x)}dx>0\)
11.积分正则性2
\(如果f(x)在[a,b]上非负连续，\int_a^b{f(x)}dx>0，则f(x)=0\)
1.积分中值定理的证明
2.教科书P184 例5.1.6
3.教科书P184 例5.1.7
4.\(f(x)可导，\underset{x \to +\infty}{lim}f(x)=1，求\underset{x \to \infty}{lim}\int_x^{x+2}tsin \frac{3}{t}f(t) dt=6\)
用积分中值定理把积分运算去掉
5.教科书P186 课后习题6
可以用定义算，也可以洛必达，但不能用积分中值定理
原文：https://www.cnblogs.com/Deliberator/p/14051972.html