如图，已知椭圆 \(C_1:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) ，抛物线 \(C_2:y^2=2px(p>0)\) ，过椭圆 \(C_1\) 的左顶点 \(A\) 的直线 \(l_1\) 交抛物线 \(C_2\) 于 \(B,C\) 两点，且 \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\) .
(1) 求证：点 \(C\) 在定直线上；
(2) 若直线 \(l_2\) 过点 \(C\) ，交椭圆 \(C_1\) 于 \(M,N\) 两点，交 \(x\) 轴于点 \(Q\) ，且 \(|CA|=|CQ|\) ，当 \(\triangle BMN\) 的面积最大时，求抛物线 \(C_2\) 的方程。
解析：
(1) 求得 \(A(-2,0)\) ，设直线 \(l_1:x=my-2\) ，\(C(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\) ，联立
则
而
又 \(\overrightarrow{AC}=(x_1+2,y_1),\overrightarrow{CB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)\) ，由 \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\) 得
所以 \(x_2=2x_1+2\) ，又 \(x_1x_2=4\) ，解得 \(x_1=1\) 或 \(x_1=-2\) (舍) . 所以点 \(C\Big(1,\dfrac{3}{m}\Big)\) ，易得点 \(C\) 在定直线 \(x=1\) 上，得证。
(2) 由 (1) 得 \(x_2=4\) ，则 \(B(4,\dfrac6m)\). 又 \(k_{CQ}=-k_{AC}=-\dfrac{1}{m}\) ，则 \(l_2:x+my-4=0\) ，设 \(M(x_3,y_3),N(x_4,y_4)\) ，联立
得 \(y_3+y_4=\dfrac{8m}{m^2+4},y_3y_4=\dfrac{12}{m^2+4}\) ，所以
而 \(B\) 到直线 \(l_2\) 的距离 \(d=\dfrac{6}{\sqrt{1+m^2}}\) ，故
令 \(m^2-12=t>0\) ，则 \(m^2=t+12\) ，则
当且仅当 \(t=\dfrac{256}{t}\) ，即 \(t=16\) ，\(m=\sqrt{28}\) 时，等号成立，\(\triangle BMN\) 面积取最大值，此时 \(C\Big(1,\pm\dfrac{3}{\sqrt{28}}\Big)\) ，代入抛物线方程得 \(C_2:y^2=\dfrac{9}{28}x\).
原文：https://www.cnblogs.com/lbyifeng/p/14137291.html