序列的z变换
z变换的定义
z变换的定义如下
\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}
\]
其中\(z=e^{j\omega}\),是一个复数.
在复平面上,\(z\)相当于单位圆上的一点.
典型序列的z变换
单位脉冲序列的z变换
求序列\(\delta(n)\)的z变换
\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(n)z^{- n}\\=\delta(0)z^{0}\\=1,0<|z|<\infty
\]
最后的一句话是收敛域
阶越序列的z变换
求序列\(u(n)\)的z变换
\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}u(n)z^{-n}\\=\sum_{n=0}^{n=\infty}z^{-n}
\\=\frac{1}{1-z^{-1}}, |z|>1
\]
矩形序列的z变换
求序列\(R_4(n)\)的z变换
\[X(n)=\sum_{n=\infty}^{\infty}R_4(n)z^{-n}
\\=\sum_{n=0}^{3}z^{-n}
\\=1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}
\\=\frac{1
-z^{-4}}{1-z^{-1}}, 0<|z|<\infty
\]
收敛域
| 序列类型 |
收敛域 |
| 有限长序列 |
$0< |
| 右边序列 |
$ |
| 左边序列 |
$ |
| 双边序列 |
$R_{x-}< |
z变换的性质
线性
\[设x_1(n)的z变换是X_1(z)
\\x_2(n)的z变换是X_2(z)
\\如果x_3(n)=ax_1(n)+bx_2(n)
\\那么X_3(z)=aX_1(z)+bX_2(z)
\\X_3(z)的收敛域为X_1(z)的收敛域和X_2(z)的收敛域的交集
\]
移位性质
双边序列
\[x(n)为双边序列时
\\设x(n)的z变换是X(z)
\\则x(n+n_0)的z变换是z^{n_0}X(z)
\\序列移位不会改变z变换的收敛域
\]
右边序列右移公式
\[x(n)为右边序列
\\设x(n)的z变换是X(z)
\\x(n-1)的z变换是z^{-1}X(z)+x(-1)
\\x(n-2)的z变换是z^{-2}X(z)+z^{-1}x(-1)+x(-2)
\\如此类推
\]
右边序列左移公式
\[x(n)为右边序列
\\设x(n)的z变换是X(z)
\\x(n+1)的z变换是z^1X(z)-x(1)
\\x(n+2)的z变换是z^2X(z)-z^1x(1)-x(2)
如此类推
\]
序列乘实指数序列
\[设x(n)的z变换是X(z)
\\y(n)=a^nx(n)的z变换Y(z)=X(a^{-1}z)
\]
复共轭序列的z变换
\[设x(n)的z变换是X(z)
\\则x^*(n)的z变换是X^*(z^*)
\]
初值定理
\[设x(n)的z变换是X(z)
\\则x(0)=\lim_{z->\infty}X(z)
\]
终值定理
\[设x(n)的z变换是X(z)
\\则x(\infty)=\lim_{z->1}(z-1)X(z)
\]
帕斯维尔定理(能量定理)
时域总能量等于z域总能量(能量守恒)
\[E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X(e^{j\omega})|^2d\omega
\]
[数字信号处理]序列的z变换
原文：https://www.cnblogs.com/zzidun-pavo/p/14281287.html
