计算：
指数据或符号对象在运算符的操作下，按照规则进行数据或符号变换、处理，从而得到结果的过程。
初始状态或数据，经过有限次运算符变换，能够得出所要求或期望的终止状态或数据。
第一次数学危机——什么是数？
理论基础：
毕达哥拉斯学派 “一切数均可表成整数或整数之比”
危机出现：
希帕索斯悖论
危机的缓解：
二百年后，欧多克索斯把量和数区分开，建立起 一套完整的比例论，巧妙地避 开无理数这一“逻辑上的丑 闻”，并保留住与之相关的一 些结论，缓解了数学危机。但欧多克索斯的解决方式，是 借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。
危机的解决：
直到到十九世纪下半叶，实数 理论建立后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学中合法 地位的确立，才真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机；
第二次数学危机——无穷小问题
理论基础：
微积分
17世纪 牛顿和莱布尼兹各自发现了微积分。构建微积分的基础都是基于无穷小。
危机出现：
贝克莱悖论
无穷小量在牛顿的理论中一会儿是零，一会儿又不是零”.贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”
危机的缓解：
十九世纪七十年代初，魏尔斯特拉斯、柯西、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论在实数理论基础上，建起极限论的基本定理，缓解了危机。
新的问题：
魏尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的子，说明直观和几何思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。
推动数学家们更深入地探讨数学分析的基础——实数论的问题，导致了集合论的诞生
第三次数学危机——罗素悖论
理论基础：
集合论
十九世纪下半叶（1873），康托尔创立了者名的集合论。刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。
后来数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立記整个数学大厦。“一切数学成果可建立在集合论基础上”。
1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加菜：借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦。今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了。
危机出现：
理发师悖论
塞尔维亚有位理发师：他只给所有不给自己理发的人理发不给那些给自己理发的人理发。问：他要不要给自己理发呢？
罗素悖论
S由一切不是自身元素的集合所组成。罗素问：S是否属于S呢？
德国数学家、逻辑学家弗雷格：—位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地
能不能找到一个完备的系统， 从上面构建起整个数学大厦呢？
危机的解决：
哥德尔不完备性定理
哥德尔1931年成功证明：任何一个数学系统，只要它是从有限的公理和基本概念中推导出来的，并且从中能推证出自然数系统，就可以在其中找到一个命题，对于它我们既没有办法证真，又没有办法证伪。
数学系统包含了初等数论描述，那么该系统的自洽性和完备性就不可能同时得到满足。
哥德尔不完全定理的证明结束了关于数学基础的争论宣告了把数学彻底形式化的愿望是不可能实现的。
计算工具的发展
待编辑
三次数学危机与计算工具发展
原文：https://www.cnblogs.com/yiwenwong/p/14288820.html
