为便于表述，我们设两圆的圆心分别为\(O_1\)、\(O_2\)，两圆的半径分别为\(R_1\)、\(R_2\)，且\(R_1>R_2\)；
则两圆外离\(\Leftrightarrow\) \(|O_1O_2|\)\(>\)\(R_1\)\(+\)\(R_2\)；
则两圆外切\(\Leftrightarrow\) \(|O_1O_2|\)\(=\)\(R_1\)\(+\)\(R_2\)；
则两圆相交\(\Leftrightarrow\) \(R_1\)\(-\)\(R_2\)\(<\)\(|O_1O_2|\)\(<\)\(R_1\)\(+\)\(R_2\)；
则两圆内切\(\Leftrightarrow\) \(|O_1O_2|\)\(=\)\(R_1\)\(-\)\(R_2\)；
则两圆内含\(\Leftrightarrow\) \(|O_1O_2|\)\(<\)\(R_1\)\(-\)\(R_2\)；
引申：两圆有公共点\(\Leftrightarrow\) \(R_1\)\(-\)\(R_2\)\(\leqslant\)\(|O_1O_2|\)\(\leqslant\)\(R_1\)\(+\)\(R_2\)；
分析：由已知得，圆\(M\)的圆心为\(M(-1，0)\)，半径\(r_1=1\)；
圆\(N\)的圆心为\(N(1，0)\)，半径\(r_2=3\)；
设圆\(P\)的圆心为\(P(x，y)\)，半径为\(R\)；
由于圆\(P\)与圆\(M\)外切，则\(|PM|=R+r_1=R+1\)，
又圆\(P\)与圆\(N\)内切，则则\(|PN|=r_2-R=3-R\)，
所以\(|PM|+|PN|=(R+r_1)+(r_2-R)=r_1+r_2=4=2a\)，\(2c=|MN|=2\)，
由[椭圆的定义]可知，曲线\(C\)是以\(M\)，\(N\)为左右焦点，长半轴长为\(a=2\)，短半轴长为\(b=\sqrt{3}\)的椭圆(左顶点除外)，
其轨迹方程为\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1(x\neq -2)\)。
(1). 设圆 \(N\) 与 \(x\) 轴相切，与圆 \(M\) 外切, 且圆心 \(N\) 在直线 \(x=6\) 上, 求圆 \(N\) 的标准方程；
分析：由于\(N\) 在直线 \(x=6\) 上， 故设 \(N(6, n)\)，
由题可知，圆 \(N\) 与 \(x\) 轴相切，故圆 \(N\) 为 \(: (x-6)^{2}+(y-n)^{2}=n^{2}\)， \(n>0\)，
又圆 \(N\) 与圆 \(M\)外切设两圆的圆心分别为\(O_1\)、\(O_2\)，两圆的半径分别为\(R_1\)、\(R_2\)，则两圆外切\(\Leftrightarrow\) \(|O_1O_2|\)\(=\)\(R_1\)\(+\)\(R_2\)\(\quad\)，\(\odot M\)：\((x-6)^2+(y-7)^2=25\)，圆心坐标为\(M(6,7)\)；
故由两圆外切得到，\(|7-n|=|n|+5\)， 解得 \(n=1\)，
故得到圆 \(N\) 的标准方程为：\(\odot N\)：\((x-6)^2+(y-1)^2=1\)；
(2). 设平行于 \(OA\) 的直线 \(l\) 与圆 \(M\) 相交于\(B\)，\(C\) 两点， 且 \(BC=OA\) ，求直线 \(l\) 的方程；
分析：由题意得 \(OA=2\sqrt{5}\)， \(k_{OA}=2\)， 设\(l: y=2x+b\)，
则圆心\(M\)到直线\(BC：2x-y+b=0\)的距离 \(d=\cfrac{|2\times6-7+b|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\cfrac{|5+b|}{\sqrt{5}}\)，
则 \(|BC|=2\sqrt{5^{2}-d^{2}}=2\sqrt{25-\cfrac{(5+b)^{2}}{5}}\)， \(BC=2\sqrt{5}\)，
即 \(2\sqrt{25-\cfrac{(5+b)^{2}}{5}}=2\sqrt{5}\)，解得 \(b=5\) 或 \(b=-15\)，
故直线\(l\) 的方程为 \(: y=2x+5\) 或 \(y=2x-15\).
(3). 设点 \(T(t, 0)\) 满足: 存在圆 \(M\) 上的两点 \(P\) 和 \(Q\)， 使得 \(\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{TQ}\)， 求实数 \(t\) 的取值范围.
分析： 设 \(P(x_{1}, y_{1})\)， \(Q(x_{2}, y_{2})\)，
由于\(A(2,4)\)， \(T(t, 0)\)， 且\(\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{TQ}\)，备注此处的向量表达式目的是从数的角度刻画\(P\)和\(Q\)两点满足的关系；\(\quad\).
即\((2-t,4)+(x_1-t,y_1)=(x_2-t,y_2)\)，
故 \(\left\{\begin{array}{l}{x_{2}=x_{1}+2-t}\\{y_{2}=y_{1}+4}\end{array}\right.\)①，
由于点 \(Q\) 在圆 \(M\)上， 故 \((x_{2}-6)^{2}+(y_{2}-7)^{2}=25\)②，
将①代入②， 得 \((x_{1}-t-4)^{2}+(y_{1}-3)^{2}=25\)，
即点\(P\)在圆心为\((t+4,3)\)，半径为\(5\)的圆上，
从而圆 \((x-6)^{2}+(y-7)^{2}=25\) 与圆 \([x-(t+4)]^{2}+(y-3)^{2}=25\) 有公共点设两圆的圆心分别为\(O_1\)、\(O_2\)，两圆的半径分别为\(R_1\)、\(R_2\)，且\(R_1>R_2\)，则两圆有公共点\(\Leftrightarrow\) \(R_1\)\(-\)\(R_2\)\(\leqslant\)\(|O_1O_2|\)\(\leqslant\)\(R_1\)\(+\)\(R_2\)；\(\quad\)，
故\(5-5\leqslant\sqrt{[(t+4)-6]^{2}+(3-7)^{2}}\leqslant 5+5\)，
解得 \(2-2\sqrt{21}\leqslant t\leqslant 2+2\sqrt{21}\)；
即实数 \(t\) 的取值范围为 \(t\in [2-2\sqrt{21},2+2\sqrt{21}]\)；
原文：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/14124006.html