点\(E\)为\(x\)轴正半轴上的一点，过点\(E\)的直线交抛物线\(C\)：\(y^2=4x\)于\(A\)、\(B\)两点，\(F\)为\(C\)的焦点，直线\(AF\)、\(BF\)分别与抛物线\(C\)交于异于\(A\)、\(B\)的\(P\)、\(Q\)两点.当直线\(AB\)，\(PQ\)的斜率都存在时，分别记为\(k_{_1}\)、\(k_{_2}\).若\(k_{_2}=2k_{_1}\)，求点\(E\)的坐标.
另类解法：\
记\(A(\frac{y^2_{_A}}{4}\)，\(y_{_A})\)，
\(B(\frac{y^2_{_B}}{4}\)，\(y_{_B})\)，
\(P(\frac{y^2_{_P}}{4}\)，\(y_{_P})\)，
\(Q(\frac{y^2_{_Q}}{4}\)，\(y_{_Q})\)，
\(E(t\)，\(0)\)，则\
\(A\)，\(F\)，\(P\)三点共线\(\Rightarrow\cdots\Rightarrow y_{_A}\cdot y_{_p}=-4\cdots(1)\)\
\(B\)，\(F\)，\(Q\)三点共线\(\Rightarrow\cdots\Rightarrow y_{_B}\cdot y_{_Q}=-4\cdots(2)\)\
\(A\)，\(E\)，\(B\)三点共线\(\Rightarrow\frac{y_{_A}}{\frac{y^2_{_A}}{4}-t}=\frac{y_{_B}}{\frac{y^2_{_B}}{4}-t}\Rightarrow \cdots\Rightarrow y_{_A}\cdot y_{_B}=-4t\cdots(3)\)\
由\(k_{_2}=2k_{_1}\Rightarrow \frac{y_{_P}-y_{_Q}}{\frac{y^2_{_P}}{4}-\frac{y^2_{_Q}}{4}}= 2\cdot\frac{y_{_A}-y_{_B}}{\frac{y^2_{_A}}{4}-\frac{y^2_{_B}}{4}}\Rightarrow\cdots\Rightarrow y_{_A}+y_{_B}=2(y_{_P}+y_{_Q})\cdots(4)\)\
由\((1)\)和\((2)(3)\Rightarrow y_{_A}y_{_B}y_{_P}y_{_Q}=16\Rightarrow y_{_P}y_{_Q}=\frac{-4}{t}\cdots(*)\)\
由\((1)\)和\((2)\Rightarrow y_{_A}+y_{_B}=-4(\frac{1}{y_{_P}}+\frac{1}{y_{_Q}})\Rightarrow y_{_A}+y_{_B}=-4(\frac{y_{_P}+y_{_Q}}{y_{_P}y_{_Q}})\cdots(\triangle)\)\
由\((4)\)和\((*)(\triangle)\)得\(t=2\)，即\(E(2\)，\(0)\)
成都市2020-2021学年度高二(上)期末理科数学22题(2)的另类解法(点差法的哥哥与姐姐)
原文：https://www.cnblogs.com/xuebajunlutiji/p/14337164.html