题1：如下图，以EF为直径的半圆与长方形ABCD的每条边恰有一个交点。EF=20，FC=2。求阴影部分的面积。
分析：只要求出长方形的长和宽就好。
解：按下图添加辅助线
易知EM=ON=OQ-NQ=20/2-2=8，于是得到长方形的长为EM+OQ=8+10=18。
FN*FN=OF*OF-ON*ON=100-64=36，故FN=6，于是得到长方形的宽为6+10=16。
所求阴影部分的面积为
16*18-50pi。
题2：如下图，点O为正三角形ABC的中心，点M在AB上，点N在AC上，连接MN，交OB和OC分别于点P和点Q。已知MP=PQ=QN，AM=2BM，三角形OPQ的面积为1。求三角形ABC的面积。
分析：本题的信息比较多，既有正三角形本身的特性，又有另外给出的线段比例关系。如何充分利用这些信息是解题的关键。
解：连接MO并延长交AC于点E，过点N作ME的平行线分别交AB和OB于点F和点H，如下图所示：
由AM=2BM以及正三角形的特性，可知ME//BC。
考察三角形MOP和NHP，由题设知PN=2PM，从而可知HN=2MO=ME，即MENH为平行四边形，进而易知MFH为正三角形，另外由正三角形特性易知FB=FH，于是MF=FB，即FN到上下两条平行线是等距的。
设MO为b，点P到MO的距离为h，由题设知三角形MOP的面积为bh/2=1，即bh=2。
由前述的三角形MOP和NHP的关系易知，ME到FN的距离为h+2h=3h，于是正三角形ABC的高为3h*6=18h。而AB=3BM=3MO=3b，于是三角形ABC的面积为3b*18h/2=3*18*2/2=54。
原文：https://www.cnblogs.com/readalps/p/14361380.html