1.前言

原文链接：https://blog.csdn.net/anhongning123/article/details/111033762
算法设计其实无非需要理解一下几点：
1.算法的目的是为了解决实际问题，应当为了更简便的解决实际问题设计算法（当然一些以安全为主的算法属于例外）

2.解决一个问题的方法并不唯一，但是总能通过“有效”的方法找到优秀的算法

3.优秀的算法往往代码也很简单
4.迭代式改进能够进一步改进算法
建议大家看看Algorithms原版（不要看汉化的，这是一本奇书），本文的内容就是书上的总结

2. 动态连通性，基础准备

假设问题的输入是一列元素对，其中每个元素都表示一个某种类型的对象，一对元素AB可以理解为“A与B具有连通性”。
相连性具有以下特点：

• 自反性：A与B是相连的；
• 对称性：如果A与B相连的，那么A与B也是相连
• 传递性：如果A和C是相连的且B与C也是相连的，B与A也是相连的
  动态连通性具有较强的实用性，在此博主以一个较为简单的实例对动态连通性进行阐述，这个例子也是大多数教程都是在使用的：
  
  如上图，在输入过程中，图中的动态连通性是在不断变化的，那么可以过滤掉图中能够连通的元素对，最终能够发现，

（1）6号与7号（6号图）
（2）4号与5号（12号图）
（3）8号与9号（11号图）

三对元素是符合连通的（或者称其为相连或者等价也可以），那么在输入处理时可以直接将以上三对元素忽略。
连通性的实用性很强，当然，学过数据结构的同学应该对这个定义很熟悉了。例如在处理网络（减少布线或者最短路径），引用（变量名称等价）等方面都具有较强实用性。

3. 算法设计

3.1 分析建模

3.1.1 明确任务目标

前言中的第一点——
算法的目的是为了解决实际问题，应当为了更简便的解决实际问题设计算法（当然一些以安全为主的算法属于例外）
对于连通性而言，讨论元素间是否连通，一般是为了求得所需连通元素之间的具体分量（也就是每一个分量的具体路径）
以下列出连通性与输出分量路径的关系

3.1.2 数据结构操作

以上就是模型需要处理的问题（本文Union-Find算法仅解释第二种情况），当然，为了更好的对问题进行程序化表述，需要定义一组数据结构，
然后基于定义的数据结构完成分项的任务——
1. 定义数据结构（影响算法效率最直接的是数据结构）
2. 基于定义的数据结构完成分项操作
对于动态连通性的具体操作可以定义如下：

3.1.3 建模

其实和数学建模的方法是一致的，设计算法都需要抽象量化。连通性的本质实际上就是带有连接方式的分组，在Union-Find算法中我们并不需要考虑连接方式的问题
因此可以有如下假设方式：
对于N个元素可以使用一个统一的id[]数组进行元素标记，如果两个元素连通，那么就可以修改其标记的数组为同一编号。在初始化时每个元素必然是不连通的，因此可以初始化id[i]=i

可以定义API如下：

public class UnionFind
{
	private int[] id; // 分量标识
	private int count; // 分量数量
	public UnionFind(int N)
	{
		// 初始化id数组
		count = N;
		id = new int[N];
		for (int i = 0; i < N; i++)
			id[i] = i;
	}
	public int count()
	{ return count; }
	public boolean connected(int p, int q)
	{ return find(p) == find(q); }
	
	public int find(int p);
	public void union(int p, int q);
	public static void main(string[] args)
	{
	 //某输入输出操作
	}
	
}

其实 Union-Find的具体设计就由
public int find(int p);
public void union(int p, int q);
两个函数确定，所以接下来主要探讨find和union的方法。

3.2 Quick-Find 算法

实现union其实就是改变每个分量的标识，那么最简单的思路就是判断两个元素的标号，如果不同就将其分量修改为相同的的标识

public class QuickFind
{
	private int[] id; // 分量标识
	private int count; // 分量数量
	public QuickFind(int N)
	{
		// 初始化id数组
		count = N;
		id = new int[N];
		for (int i = 0; i < N; i++)
			id[i] = i;
	}
	public int count()
	{ return count; }
	public boolean connected(int p, int q)
	{ return find(p) == find(q); }
	
	public int find(int p)
	{ return id[p]; }
	public void union(int p, int q)
	{ 
		// 将p和q的归并为一组
		int pID = find(p);
		int qID = find(q);
		// 元素已经连通则不做处理
		if (pID == qID) return;
		// 若不连通，直接改变标识
		for (int i = 0; i < id.length; i++)
			if (id[i] == pID) id[i] = qID;
		count--;
	}
	public static void main(string[] args)
	{
	 //某输入输出操作
	}
	
}

以上代码可以使用下图阐述：

每次在输入后，都进行一次union遍历，如果元素处于不同分量，就将其修改为同一分量的标识，达到连通的效果。
Quick-Find的思路无疑是较为简便的，如果处理N个元素，意味着也要调用N-1次union，也就是说union的数量级是平方级别的。在数据规模较小的时候该算法会很简便，但如果数据规模较大，该算法显然不可行。
所以需要对以上算法进行优化，首先要明白调用union的次数是无法改变的，优化的目的就在
优化union上。

3.3 Quick-Union 算法

影响Quick-Find中union的因素是由于id[i]数组无法给出各个分量的具体元素类，如果想要得到 某一分量的全部元素只能遍历id[i].
因此为了提高效率，需要重新设计id[i]中元素的关系，也就是需要给出同一分量中各个元素的继承关系。
如下：


。

修改过程也会更为简单，只需将根节点指向另一根节点即可，如上图。
这里的id[]种存放的不再是元素，而是该元素的父节点，在遍历过程中总能找到一个根节点使得id[root]=root，于是可以用这个id[root]作为该分量的标识。并由此可以设计find函数。
实现代码如下：

private int find(int p)
{ 
	//找到分量的代表元素
	while (p != id[p]) p = id[p];
	return p;
}
public void union(int p, int q)
{ 
	// 使两节点的根节点统一
	int pRoot = find(p);
	int qRoot = find(q);
	if (pRoot == qRoot) 
		return;
	id[pRoot] = qRoot;    
	count--;
}

这里不建议使用链表或者图的结构，应为连id[]中需要使用一个标志性元素代表整个分量，在树中可以使用根节点作为唯一标识。而链表是线性结构，无法满足多对一的性质。
此外，对于增删改三种处理，效率最高的还是树。

Quick-Union 解决了union的遍历问题，但是在最坏的情况下，这种方式会退化成一个单链表。这种情况下也是平方级别的。
因为Quick-Union中的find是影响算法效率的主要原因，最坏情况下需要调用find的次数为3+5+7+9+......+(2N-1)

（尽管对于增删改三种处理，效率最高的还是树，但是树的结构会受到输入数据的结构影响）

3.3.1 路径压缩的Quick-Union(Quick union with path compression)

这里给出路径压缩方式对Quick-Union的优化，对于Simpler one-pass variant优化的算法均摊成本为对数级别。
在Quick-Union中，实现find其实是向上遍历直到寻找到$root=id[root]$的节点，但在遍历过程中其实可以事先对遍历的路径进行优化。这里给出两种路径压缩的方法：

• 双通实现(Two-pass implementation)：先找到根节点，然后使得所有节点都指向根节点。
  

- 简化单通变体（路径减半）Simpler one-pass variant ：使路径中的每一个其他节点指向它的爷爷节点,即$id[i] = id[id[i]]$;

// QuickUnionPathCompressionUF
//路径压缩算法主要优化的是find过程
public int find(int p) {
        int root = p;
 双通实现：添加第二个循环，将每个检查节点的id[]设置为根
        while (root != id[root])
            root = id[root];
        while (p != root) {
            int newp = id[p];
            id[p] = root;
            p = newp;
        }
        return root;
   }
简化单通（路径减半）：使路径中的每一个其他节点指向它的爷爷节点
public int find(int i){
 	while (i != id[i])
 	{
 	//如果p元素的父亲指针指向的不是自己，说明p并不是集合中的根元素，还需要一直向上查找和路径压缩
 			id[i] = id[id[i]];
 			i = id[i];
 	}
 	return i;
}
public void union(int p, int q) {
       int rootP = find(p);
       int rootQ = find(q);
       if (rootP == rootQ) 
       		return;
       id[rootP] = rootQ;
       count--;
    }

3.4 加权Quick-Union 算法

显然，Quick-Union 算法 依旧存在着弊端，需要引入一种处理方法解决Quick-Union 算法的最坏情况，或者说使用一种方式让连通分量合并时find寻找根节点的路径更短，也就是让合并的后的分量高度更低。

为此，需要设立一个数组存放根节点对应的分量大小。代码如下：

public class WeightedUnionFind
{
	private int[] id; // 分量标识
	private int[] sz; // 各个根节点所对应的根节点大小
	private int count; // 分量数量
	public WeightedUnionFind(int N)
	{
		// 初始化id数组
		count = N;
		id = new int[N];
		for (int i = 0; i < N; i++)
			id[i] = i;
		// 初始化sz数组	
        sz = new int[N];
		for (int i = 0; i < N; i++)
			sz[i] = i;

	}
	public int count()
	{ return count; }
	public boolean connected(int p, int q)
	{ return find(p) == find(q); }
	private int find(int p)
    { 
	//找到分量的代表元素
	while (p != id[p]) p = id[p];
	return p;
    }
	public void union(int p, int q)
    {
	int i = find(p);
	int j = find(q);
	if (i == j) return;
	//分量连接
	if (sz[i] < sz[j]) { id[i] = j; sz[j] += sz[i]; }
	else { id[j] = i; sz[i] += sz[j]; }
	count--;
    }
	public static void main(string[] args)
	{
	 //某输入输出操作
	}
	
}

同样，也需要对算法的最坏情况进行分析，最坏情况 如下图：

对于加权Quick-Union算法而言，其目的就是保证find操作的最高效率，也就是使得任意元素到达根节点的距离最短，这里直接给出结论：
在最坏的情况下，对于加权Quick-Union算法find、connected和union的成本数量级为logN。这使得该算法在处理大规模 数据时具有较好的效率。

Union-Find算法分析以及路径压缩优化

原文：https://www.cnblogs.com/suanfawu/p/14386506.html