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导数与微分的概念

导数的概念

? 定义1

? 定义2

? 定理1 可导?左右导数存在且相等

微分的概念

? 定义3 若当△x→0时

可写成上面的形式，则称f(x)在点x₀处可微，称A△x为微分，记作\(d y=A \Delta x\)

? 定理2 函数y=f(x)在点₀处可微的充分必要条件为y=f(x)在点x₀处可导，且有\(d y=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x=f^{\prime}\left(x_{0}\right) d x\)

导数与微分的几何意义

• 导数的几何意义：导数f‘(x₀)在几何上表示曲线y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处切线的斜率
• 微分的几何意义：微分\(d y=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x\)在几何上表示曲线y=f(x)的切线上的增量

连续，可导，可微的关系

• 可导→连续
• 可导?可微
• 可微→连续

f(x)在x₀处可导→f(x)在x₀处连续（对）
f(x)在x₀处可导→f‘(x)在x₀处连续（错）
f(x)在x₀处可导→\(\lim _{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)\)存在（错）

f(x)n阶可导→洛必达法则用到n-1阶导数
f(x)n阶连续可导→洛必达法则用到n阶导数

导数公式及求导法则

基本初等函数的导数公式

只列举出几个

\(\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \ln a\)
\(\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{\ln a}\)
\((\ln |x|)^{\prime}=\frac{1}{x}\)
\((\tan \theta)^{\prime}=\sec ^{2} \theta\)
\((\cot \theta)^{\prime}=-\csc ^{2} \theta\)
\((\sec \theta)^{\prime}=\sec \theta \tan \theta\)
\((\csc \theta)^{\prime}=-\csc \theta \cot \theta\)
\((\arccos \theta)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-\theta^{2}}}\)
\((\arcsin \theta)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-\theta^{2}}}\)
\((\arctan \theta)^{\prime}=\frac{1}{1+\theta^{2}}\)
\((\operatorname{arccot} \theta)^{\prime}=-\frac{1}{1+\theta^{2}}\)

求导法则

• 有理运算法则
• 复合函数求导法
• 隐函数求导法
• 反函数的导数
  若y=f(x)可导，且f‘(x)≠0，则其反函数x=φ(y)也可导，且\(\varphi^{\prime}(y)=\frac{1}{f^{\prime}(x)}\)
• 参数方程求导法
  设y=y(x)是由\(\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\Phi(t)\end{array}\right.\)确定的函数，若\(\varphi(t) \Phi(t)\)都可导，则\(\frac{d y}{d x}=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(\mathrm{t})}\)
• 对数求导法

高阶导数

定义

\(y^{(n)}=\left[f^{(n-1)}(x)\right]^{\prime}\)
若函数f(x)在x处n阶可导，则在点x的某领域内f(x)必定具有一切低于n阶的导数

常用的高阶导数公式

\((\sin x)^{(n)}=\sin \left(x+n \bullet \frac{\pi}{2}\right)\)
\((\cos x)^{(n)}=\cos \left(x+n \bullet \frac{\pi}{2}\right)\)
\((\mu v)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} \mu^{(k)} v^{(n-k)}\)

相关变化率

求解方法：

• 建立相关率与变量之间的关系
• 方程两边同时对t求导

高等数学 第二章 导数与微分

原文：https://www.cnblogs.com/ZHR-871837050/p/14407763.html