不定积分的概念与性质

原函数

F‘(x)=f(x)

不定积分的几何意义

不定积分的几何意义就是原函数簇所表示的曲线

原函数存在定理

定理1 若f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上一定存在原函数（\(\int_{a}^{x} f(t) d t\)）
定理2 若f(x)在区间I上有第一类间断点，则f(x)在区间I上没有原函数

不定积分的性质

\(\left(\int f(x) d x\right)^{\prime}=f(x)\)
\(d \int f(x) d x=f(x) d x\)

\(\int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C\)
\(\int d f(x)=f(x)+C\)

\(\int[f(x)+g(x)] d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x\)

不定积分的基本公式

只列举几个

\(\int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C\)
\(\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)+C\)
\(\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right)+C\)
\(\int \frac{d x}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C\)

\(\int \sec x d x = \ln | \sec x + \tan x | + C\)
\(\int \csc x d x = - \ln | \csc x + \cot x | + C\)

三种主要积分法

第一类换元法

若\(\int f(u) d u=F(u)+C\)
则\(\int f[\varphi(x)] \varphi^{\prime}(x) d x=F[\varphi(x)]+C\)

第二类换元法

设\(x = \phi ( t )\)是单调的可导函数，且\(\phi ^ { \prime } ( t ) \neq 0\)，又\(\int f [ \phi ( t ) ] \phi ^ { \prime } ( t ) d x = F ( t ) + C\)
则\(\int f ( x ) d x = F [ q ^ { - 1 } ( x ) ] + C\)

• 若\(\sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } }\)则令\(x = a \tan t\)
• 若\(\sqrt { x ^ { 2 } - a ^ { 2 } }\)则令\(x = a \sec t\)
• 若\(\sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } }\)则令\(x = a \sin t\)或\(x = a \cos t\)

分部积分法

适用于两类不同函数相乘

• 多项式\(P _ { n } ( x )\)与指数\(e ^ { \alpha x }\)、三角函数、反三角函数、对数函数相乘的时候
• 指数函数\(e ^ { \alpha x }\)与三角函数相乘的时候

三类常见可积函数积分

有理函数积分

• 一般法（部分分式法）
• 特殊法（加项减项拆项或凑微分降幂）

三角有理式积分

• 一般方法（万能代换）令\(\tan \frac { x } { 2 } = t\)，则

• 特殊方法（三角变形、换元、分部）
  1.\(R(-\sin x, \cos x)=-R(\sin x, \cos x)\)，令\(u = \cos t\)
  2.\(R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x, \cos x)\)，令\(u = \sin t\)
  3.\(R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x, \cos x)\)，令\(u = \tan t\)

简单无理式积分

令\(\sqrt { \frac { a x + b } { c x + d } } = t\)

高等数学 第四章 不定积分

原文：https://www.cnblogs.com/ZHR-871837050/p/14408810.html