这里补充一些基础知识，先介绍一下所谓链式法则，也就是复合函数的求导：
然后根据导数的基本定义就可以证明这个法则了，还有一个可以证明的分部法则：
再讲一个东西 \(ln(x)\) 怎么求导：
\(\frac{ln(x+dx)-ln(x)}{dx}=ln((1+\frac{dx}{x})^{\frac{1}{dx}})=\frac{1}{x}ln((1+\frac{dx}{x})^{\frac{x}{dx}})\)
然后 \(ln\) 里面就是这个东西：\(\lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n=e\)，所以 \(ln(x)‘=\frac{1}{x}\)
譬如对于 \((1-x)^{-1}\) 求导，就不要乱用结论了，老实通分去算就行了。
在生成函数中常用，取一个点 \(x_0\) 来逼近原函数的方法：
这个东西还是很常用的，思路就是我们先把原函数乘几下，然后相减只剩下低次项，就可以得到原函数的闭形式，再把闭形式展开就可以得到通项式了。
例1
首先我们来推一下 斐波那契数列的通项公式 ：
上面的等式是可以展开了，先用求根公式把它化成两个闭形式相乘，然后两个闭形式分别展开，就可以得到斐波那契数列的通项公式了。
例2
下面我们来推一下 卡特兰数的通项公式 ，设 \(G(x)\) 表示卡特兰数的生成函数。
那么不难建立 \(G(x)\) 和 \(G(x)^2\) 的等式关系：
这里解出了两种闭形式，但有一种需要舍去，当 \(G(x)=\frac{1+\sqrt{1-4x}}{2x}\) 时，则 \(\lim_{x\to0}G(x)=\infty\)，这与 \(G(x)\) 的常数项为 \(1\) 矛盾。那么 \(G(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\)，现在的问题变成了把这个闭形式展开。
先搞 \(\sqrt{1-4x}\)，可以用泰勒展开，我们在 \(x=0\) 处展开它，求几次导就发现展开的结果是：
故 \(c_k=\frac{1}{2}\frac{1\cdot 3\cdot\cdot\cdot(2k-1)}{2^{k+1}}\frac{4^{k+1}}{(k+1)!}=\frac{(2k)!}{(k+1)!k!}=\frac{1}{k+1}{2k\choose k}\)
例3
下面我们来推一下 杨辉三角里对角线和的通项公式 ，即 \(a_n=\sum_{i=0}^n{n+i\choose2i}\)
发现上面的柿子很像二项式展开的形式，但是 \(b\) 是偶数这个要求很烦人，如果 \(b\) 是奇数那他的结果就不会计入 \(x\) 的整数次方了，所以有这些项也不用管，那么就可以写成下面的形式：
设 \(F(x)=\frac{1}{1-x-x^2}\) 是斐波那契数列的母函数，那么 \(A(x^2)=F(x)\)
对应一下系数就会发现 \(a_n=fib(2n)\)
例1
求序列 \(<1,3,5...2n-1...>\) 作为系数的母函数闭形式：
这个 \((i+1)\) 可以通过求导消去，这样就好写闭形式了，对母函数求导等价于对闭形式求导：
例2
求圆排列 \(c_n=(n-1)!\) 的指数型母函数：
你可能觉得上面的东西化不动了，你要知道 \(ln(1+x)\) 在 \(0\) 处的泰勒展开是这样的：
同理，我们把 \(x\) 换成 \(-x\) 就可以得到：
那么原式又可以化简了。
还有一个梦幻联动，设 \(\hat P(x)\) 是全排列代表的指数型母函数：
剩下还有两个例题是真的肝不动了，康康oneindark的博客吧。
原文：https://www.cnblogs.com/C202044zxy/p/14413755.html