精确公式用近似公式代替时，所产生的误差叫截断误差。
例：利用\(\ln(x+1)\)的Taylor公式：
\(\ln(x+1) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 + \dots + (-1)^{n+1}\frac{1}{n}x^n + \dots\)
实际计算时只能截取有限项代数和计算，如取前\(5\)项有：
\(\ln 2 \approx 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)
这里产生误差（记作\(R_5\)）
\(R_5 = - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} + \dots\)
数学模型本身总含有误差，这种误差叫做模型误差
为简化模型忽略次要因素、定理在特定条件下建立，与实际条件有别。
模型误差\(\rightarrow\)数学模型的准确解与实际问题的真解不同。
由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的限制，使数据含有测量误差，这类误差叫做观测误差或数据误差。
根据实际情况可以得到误差上下界。
数值方法中需要了解观测误差，以便选择合理的数值方法与之适应。
计算机的计算中只能对有限位字长的数值进行运算。
需要对参数、中间结果、最终结果作有限位字长的处理工作，这种处理工作称作舍入处理。
用有限位数字代替精确数，这种误差叫做舍入误差，是数值计算中必须考虑的一类误差。
例：\(\pi = 3.1415926\dots\)四舍五入后，\(\epsilon_1 = \pi - 3.1416 = -0.0000074\)
定义：设\(x\)是准确值，\(x^*\)为\(x\)的一个近似值，称\(e(x^*) = x - x^*\)是近似值\(x^*\)的绝对误差，简称误差。
例：若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长，大约为\(1.45\)米，求\(1.45\)米的绝对误差。
答：不知道
实际问题往往可以估计出\(|e(x^*)|\)不超过某个正整数\(\epsilon\)，即\(|x - x^*| \leq \epsilon\)，则称\(\epsilon\)为绝对误差限，有了绝对误差限，就可以知道\(x\)的范围为：\(x^* - \epsilon \leq x \leq x^* + \epsilon\)。即\(x\)落在\([x^* - \epsilon,x^*+\epsilon]\)内。在应用上，常常采用下列写法来刻画\(x^*\)的精度：\(x = x^* \pm \epsilon\)。
定义：设\(x\)是准确值，\(x^*\)是近似值，\(e^*\)是近似值的绝对误差，称\(\frac{e^*}{x} = \frac{x-x^*}{x}\)为近似值\(x^*\)的相对误差，记作\(e_r^*\)。通常取\(e_r^* \approx \frac{e^*}{x^*} = \frac{x-x^*}{x^*}\)
相应地，若整数\(\epsilon_r\)满足\(|\frac{x-x^*}{x}| \leq \epsilon_r\)，则称\(\epsilon_r\)为\(x^*\)的相对误差限。
例：设\(x^* = 1.24\)是由精确值\(x\)经过四舍五入得到的近似值，求\(x\)的绝对误差限和相对误差限。
解：由已知可得：\(1.235 \leq x < 1.245\)，所以，绝对误差限\(\epsilon = 0.005\)
根据相对误差限的定义\(|\frac{x-x^*}{x}| \leq \epsilon_r\)，所以，相对误差限\(e_r \approx 0.005 \div 1.24 \approx 0.4\%\)
注意：一般地，凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。
定义：用科学计数法，记\(x^* = \pm 0.a_1a_2\dots a_y \times 10^m\)，其中\(a_1 \neq 0\)。若\(|x - x^*| \leq 0.5 \times 10^{m - n}\)，即\(a_n\)的截取按四舍五入规则，则称\(x^*\)有\(n\)位有效数字，精确到\(10^{m - n}\)。
例：\(\pi = 3.1415926535897932\dots\)，\(\pi^* = 3.1415\)。问：\(\pi^*\)有几位有效数字？
解：\(\pi^* = 0.31415 \times 10^1\)，并且\(|\pi - \pi^*| < 0.5 \times 10^{-3} = 0.5 \times 10^{1-4}\)。所以，\(\pi^*\)有\(4\)位有效数字，精确到小数点后第\(3\)位。
例：将\(\frac{22}{7}\)作为\(\pi\)的近似值，它有几位有效数字？
解：\(x = \pi = 3.1415926\dots\)，\(x^* = \frac{22}{7} = 3.14285714 = 0.314285714 \times 10^1\)
，得\(m = 1\)。故\(|x - x^*| < 0.0014 \leq 0.5 \times 10^{m - n}\)，得\(n = 3\)。所以是\(3\)位有效数字。
例：为了使\(x = \sqrt{2}\)的近似值的绝对误差小于\(10^{-5}\)，问应取几位有效数字？
解：由于\(\sqrt{2} = 1.4\dots\)，则近似值\(x^*\)可写为\(x^* = \pm 0.a_1a_2\dots a_k \times 10^1\)，\(a_1 = 1 \leq 0\)。\(x^*\)作为\(x\)的近似值，具有\(n\)位\((n \leq k)\)有效数字当且仅当，\(|x - x^*| \leq \frac{1}{2} \times 10^{m - n}\)。令\(|\sqrt{2} - x| \leq \frac{1}{2} \times 10^{1 - n} \leq 10^{-5}\)。故取\(n = 6\)，即取\(6\)位有效数字。此时\(x^* = 1.41421\)。
注：精确值的有效数字可认为有无限多位。
一元函数\(f(x)\)具有二阶连续导数，\(x\)为准确值，\(x^*\)为近似值，\(f(x^*)\)作为\(f(x)\)的一个近似值，那么\(f(x)\)的绝对误差限如何求解呢？
解：我们先给出\(f(x)\)在\(x = x^*\)时的泰勒展开：\(f(x) = f(x^*) + f‘(x^*)(x - x^*) + \frac{f‘‘(\xi)}{2!}(x - x^*)^2\)。
因此，我们有\(|f(x) - f(x^*)| \leq |f‘(x^*)||x - x^*| + \frac{|f‘‘(\xi)||x-x^*|^2}{2}\)。
其中\(\xi\)位于\(x\)与\(x^*\)之间，若\(f‘(x^*) \neq 0\)，\(|f‘‘(\xi)|\)与\(f‘(x^*)|\)相比不太大，则忽略含\(|x-x^*|^2\)的项，\(|f(x) - f(x^*)| \leq |f‘(x^*)||x - x^*|\)。即\(f(x^*)\)的误差限为：\(\epsilon(f(x^*)) \approx |f‘(x^*)||x - x^*|\)的\(f(x^*)\)绝对误差的一个近似估计。
例：设\(x > 0, x^*(>0)\)是\(x\)的一个近似值，\(\epsilon\)为其一个相对误差界，估计\(\ln x^*\)近似\(\ln x\)的误差。
解：\(\epsilon\)是\(x^*\)近似\(x\)的相对误差界，所以其绝对误差界可取为\(\epsilon |x^*| = \epsilon x^*\)，由\(|f(x) - f(x^*)| \leq |f‘(x^*)||x - x^*|\)有：\(|\ln x - \ln x^*| \leq |f‘(x^*)||x - x^*| \leq \frac{1}{x^*}\cdot \epsilon x^* = \epsilon\)
所以\(\epsilon\)是\(\ln x^*\)近似\(\ln x\)的一个绝对误差界，而其相对误差界可以取\(\frac{\epsilon}{|\ln x^*|}\)
如果\(f\)是\(n\)元函数，自变量\(x_1,x_2, \dots ,x_n\)的近似值分别是\(x_1^*,x_2^*, \dots ,x_n^*\)，则由一阶Taylor公式得：\(f(x_1,x_2, \dots ,x_n) \approx f(x_1^*,x_2^*, \dots ,x_n^*) + \sum_{k = 1}^n(\frac{\partial f}{\partial x_k})^*(x_k - x_k^*)\)
其中\((\frac{\partial f}{\partial x_k})^* = \frac{\partial}{\partial x_k}f(x_1^*,x_2^*, \dots ,x_n^*)\)，则可以估计函数值的误差界，近似地有：\(|f(x_1,x_2, \dots ,x_n) - f(x_1^*,x_2^*, \dots ,x_n^*)| \leq \sum_{k = 1}^n|\frac{\partial f}{\partial x_k}|^*|x_k - x_k^*|\)。可得\(f(x_1^*,x_2^*, \dots ,x_n^*)\)的误差限约为\(\sum_{k = 1}^n|\frac{\partial f}{\partial x_k}|^*|x_k - x_k^*|\)。
把多元函数的误差公式\(\sum_{k = 1}^n|\frac{\partial f}{\partial x_k}|^*|x_k - x_k^*|\)用到两个或多个数的算术运算中去，例如，\(|(x_1 \pm x_2) - (x_1^* \pm x_2^*)| \leq |x_1 - x_1^*| + |x_2 - x_2^*|\)，\(|(x_1x_2) - (x_1^*x_2^*)| \leq |x_2^*||x_1 - x_1^*| + |x_1^*||x_2 - x_2^*|\)。
以上两式是两数之和、差与积的误差估计；同理，对商的误差估计：\(|\frac{x_1}{x_2} - \frac{x_1^*}{x_2^*}| \leq \frac{1}{|x_2^*|}|x_1 - x_1^*| + \frac{|x_1|}{|x_2^*|^2}|x_2 - x_2^*| = \frac{|x_2^*||x_1 - x_1^*|+|x_1^*||x_2 - x_2^*|}{|x_2^*|^2}\)
原文：https://www.cnblogs.com/miraclepbc/p/14453849.html