二元函数
z=f(x,y)
二元函数的极限
\[\lim_{\left( x,y \right) \rightarrow \left( x_0,y_0 \right)}f\left( x,y \right) =A
\]
- \(\left( x,y \right) \rightarrow \left( x_0,y_0 \right)\)是以“任意方式”
- 一元函数的局部有界性、保号性、有理运算、极限与无穷小的关系、夹逼性可以推广到二元函数
- 在二元函数中没有洛必达法则
例题1
1、\(
试求\lim_{\left( x,y \right) \rightarrow \left( 0,0 \right)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}
\)
\(
\text{由于}0<\left| \frac{xy^2}{x^2+y^2} \right|<x\text{，}
\)
\(
\text{因此原函数极限为}0（夹逼原理）
\)
例题2
2、\(
\text{试证明}\lim_{\left( x,y \right) \rightarrow \left( 0,0 \right)}\frac{xy}{x^2+y^2}\text{不存在}
\)
\(
\lim_{y=kx,x\rightarrow 0}\frac{xy}{x^2+y^2}=\lim_{y=kx,x\rightarrow 0}\frac{kx^2}{x^2+k^2x^2}=\frac{k}{1+k^2}
\)
\(
\text{说明过原点的直线斜率不同，趋向}\left( 0,0 \right) \text{的极限也不同}
\)
\(
\text{因此极限不存在}
\)
一般来说，对于二元函数极限，分子和分母最高次相同不存在，分子比分母高阶等于0，分子比分母低阶无穷
多元函数的连续性
连续的概念
\[\lim_{\left( x,y \right) \rightarrow \left( x_0,y_0 \right)}f\left( x,y \right) =f\left( x_0,y_0 \right)
\]
连续函数的性质
- 性质1 多元连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍为连续函数
- 性质2 多元连续函数的复合函数也是连续函数
- 性质3 多元初等函数在其定义区域内连续
- 性质4 （最大值定理）有界闭区域D上的连续函数在区域D上必能取得最大值和最小值
- 性质5 （介值定理）有界闭区域D上的连续函数在区域D上必能取得介于最大值和最小值之间的任意值
多元函数连续性性质与一元函数的类似
偏导数
偏导数
\[\frac{\partial f}{\partial x}\mid_{\begin{array}{c}
x=x_0\ y=y_0\\end{array}}^{}=f_x\left( x_0,y_0 \right) =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left( x_0+\Delta x,y_0 \right) -f\left( x_0,y_0 \right)}{\Delta x}
\]
\[\frac{\partial f}{\partial y}\mid_{\begin{array}{c}
x=x_0\ y=y_0\\end{array}}^{}=f_y\left( x_0,y_0 \right) =\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f\left( x_0,y_0+\Delta y \right) -f\left( x_0,y_0 \right)}{\Delta y}
\]
有的时候如果先求偏导再代值可能会很麻烦，可以先带值再求偏导会简单很多
即：
\[\frac{\partial}{\partial x}f\left( x,y_0 \right) \mid _{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0}^{}=f_x\left( x_0,y_0 \right) =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left( x_0+\Delta x,y_0 \right) -f\left( x_0,y_0 \right)}{\Delta x}
\]
\[\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{y}}f\left( x_0,y \right) \mid _{\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}_0}^{}=f_y\left( x_0,y_0 \right) =\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f\left( x_0,y_0+\Delta y \right) -f\left( x_0,y_0 \right)}{\Delta y}
\]
二元函数偏导数的几何意义
高阶偏导数
\[\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) =\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}=f_{xx}\left( x,y \right)
\]
\[\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) =\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}=f_{xy}\left( x,y \right)
\]
\[\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) =\frac{\partial ^2f}{\partial y\partial x}=f_{yx}\left( x,y \right)
\]
\[\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) =\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}=f_{yy}\left( x,y \right)
\]
定理1 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数\(\frac{\partial ^2f}{\partial y\partial x}\)和\(\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}\)在区域D内连续，则在该区域内
\[\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial ^2f}{\partial y\partial x}
\]
全微分
\(\text{若}\Delta z=f\left( x+\Delta x,y+\Delta y \right) -f\left( x,y \right) =A\cdot \Delta x+B\cdot \Delta y+o\left( \rho \right) \text{则称函数}\boldsymbol{z}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x,y} \right) \text{在点}\left( \boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0 \right) \text{处可微，d}z=A\cdot \Delta x+B\cdot \Delta y\text{，其中}\rho =\sqrt{\left( \Delta x \right) ^2+\left( \Delta y \right) ^2}\)
定理2 （可微的必要条件）如果\(\boldsymbol{z}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x,y} \right)\)在点\(\left( \boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0 \right)\)处可微，则在点\(\left( \boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0 \right)\)处，则\(\frac{\partial z}{\partial x}\)和\(\frac{\partial z}{\partial y}\)必定存在，且\(\text{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y\)
用定义判定可微的一般方法
- \(f_x\left( x_0,y_0 \right)\)和\(f_y\left( x_0,y_0 \right)\)都存在
- \(\lim_{\left( x,y \right) \rightarrow \left( x_0,y_0 \right)}\frac{\Delta z-\left[ f_x\left( x_0,y_0 \right) \Delta x+f_y\left( x_0,y_0 \right) \Delta y \right]}{\left( \Delta x \right) ^2+\left( \Delta y \right) ^2}=0\)
定理3 （可微的充分条件）如果\(\boldsymbol{z}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x,y} \right)\)的偏导数\(\frac{\partial z}{\partial x}\)和\(\frac{\partial z}{\partial y}\)在点\(\left( \boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0 \right)\)处连续，则函数\(\boldsymbol{z}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x,y} \right)\)在点\(\left( \boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0 \right)\)处可微
连续，可偏导及可微之间的关系
多元应该与一元对照起来
一元函数：
多元函数：
- 可偏导和连续没有关系
- 可微→可偏导
- 可微→连续
- 偏导数连续→可微
高等数学 第八章 多元函数微分学 第一节 重极限、连续、偏导数、全微分
原文：https://www.cnblogs.com/ZHR-871837050/p/14457686.html
