线性代数的中心问题是求解线性方程组。
例：给定一个线性方程组
它能表示为：
此方程组可解\(\Leftrightarrow\)向量\((4,-2)^T\)可表示为\((1, 2)^T\)和\((2, -3)^T\)的线性组合。
线性代数是建立在向量的加法和数乘这两种所谓的“线性运算”上的。
在由称为“向量”的元素构成的非空集合\(V\)中，若定义了加法和数乘运算，且对于\(\alpha, \beta, \gamma \in K^n\)，\(k,l \in K\)，有：
（1）\(\alpha + \beta = \beta + \alpha\)
（2）\((\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)\)
（3）\(0 + \alpha = \alpha + 0 = \alpha\)，\(0\)是\(K^n\)的零元
（4）\(-\alpha := (-\alpha_1, -\alpha_2,\dots ,-\alpha_n),
\alpha + (-\alpha) = (-\alpha) + \alpha = 0\)，\(-\alpha\)是\(\alpha\)的负元
（5）\(1 \cdot \alpha = \alpha\)
（6）\((kl)\alpha = k(l\alpha)\)
（7）\((k + l)\alpha = k\alpha + l\alpha\)
（8）\(k(\alpha + \beta) = k\alpha + k\beta\)
则称\(V\)为定义在数域\(\mathbb{F}\)上的向量空间
设\(v_1, \dots, v_m\)为\(m\)个\(n\)维向量，\(c_1, \dots, c_m \in \mathbb{R}\)，则\(c_1v_1 + \dots + c_mv_m\)为向量\(v_1, \dots, v_m\)的一个线性组合。
两非零向量\(v, w\)的夹角\(\theta\)满足\(\cos \theta = \frac{v \cdot w}{\lVert v \rVert \lVert w \rVert}\)
证明：一般地，向量\(v, w, v - w\)构成三角形的三边。由余弦定理得：\(\lVert v - w \rVert^2 = \lVert v \rVert^2 + \lVert w \rVert^2 - 2\lVert v \rVert\lVert w \rVert \cos \theta\)。
化简得：\(\frac{\lVert v \rVert^2 + \lVert w \rVert^2 - \lVert v - w \rVert^2}{2\lVert v \rVert\lVert w \rVert} = \frac{v\cdot w}{\lVert v \rVert\lVert w \rVert}\)
证明：
等号成立当且仅当\(v \cdot w = \lVert v \rVert \cdot \lVert w \rVert\)，这等价于\(v, w\)之一是另一个向量的非负倍数。
原文：https://www.cnblogs.com/miraclepbc/p/14537929.html